. ¿Cuántos vértices puede tener un polígono convexo si el número de sus diagonales es divisible por el número de sus vértices? P2. Sea $ABCD$ un trapecio con base $AD$ . Denote por $M$ el punto de intersección de las bisectrices exteriores de los ángulos en los vértices $A$ y $B$ , y por $N$ el punto de intersección de las bisectrices exteriores de los ángulos en los vértices $C$ y $D$ . Demuestre que la longitud del segmento $MN$ es igual a la mitad del perímetro del trapecio. P3. Halle todos los números naturales que se pueden representar en la forma $\frac{mn+1}{m+n}$ , donde $m$ y $n$ son números naturales. P4. Sean $a, b, c$ números reales no negativos. Demuestre que $ab+bc+ca\geqslant\sqrt{3abc(a+b+c)}$ . P5. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sobre los lados $AB$ y $BC$ se construyen exteriormente los rectángulos $ABMN$ y $LBCK$ de modo que $AB=KC$ . Demuestre que las rectas $AL$ , $NK$ y $MC$ se cortan en un único punto. P6. Los números naturales del $1$ al $127$ se reparten en varios (más de uno) grupos con sumas iguales. Demuestre que el número de tales grupos es par.