Demuestre que existe un conjunto $C$ de $2020$ enteros positivos y distintos que cumple simultáneamente las siguientes propiedades: - Cuando se calcula el máximo común divisor de cada dos elementos de $C$, se obtiene una lista de números todos distintos. - Cuando se calcula el mínimo común múltiplo de cada dos elementos de $C$, se obtiene una lista de números todos distintos.

Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ una sucesión de enteros positivos y sea $b_1,b_2,b_3,\ldots$ la sucesión de números reales dada por\n$$b_n=\frac{a_1a_2\cdots a_n}{a_1+a_2+\cdots+a_n}$$\nDemuestre que si entre cada millón de términos consecutivos de la sucesión $b_1,b_2,b_3,\ldots$ existe al menos uno que es entero, entonces existe algún $k$ tal que $b_k>2021^{2012}$.

Sea $n\geq 2$ un entero. Una sucesión $\alpha=(a_1,a_2,\ldots, a_n)$ de $n$ números enteros se dice limeña si $$mcd(\{a_i-a_j|a_i>a_j, 1\leq i,j\leq n\})=1$$ Una operación consiste en escoger dos elementos $a_k$ y $a_l$ de una sucesión, con $k\neq l$, y reemplazar $a_l$ por $a_l'=2a_k-a_l$. Demuestre que, dada una colección de $2^n-1$ sucesiones limeñas, cada una formada por $n$ números enteros, existen dos de ellas, digamos $\beta$ y $\gamma$, tales que es posible transformar $\beta$ en $\gamma$ mediante un número finito de operaciones.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB<AC$. Los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$ son $M$ y $N$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ puntos en la recta $MN$ tales que $\angle CBP=\angle ACB$ y $\angle QCB=\angle CBA$. La circunferencia circunscrita del triángulo $ABP$ interseca a la recta $AC$ en $D$ ($D\neq A$) y la circunferencia circunscrita del triángulo $AQC$ interseca a la recta $AB$ en $E$ ($E\neq A$). Demuestre que las rectas $BC$, $DP$ y $EQ$ son concurrentes.

Sea $S=\{13,133,1333,\ldots\}$ el conjunto de entero positivos de la forma $133\cdots 3$. Considera una fila con $2022$ casillas. Ana y Borja juegan a un juego. Ana empieza, y en cada turno ban a escribir un digito en la casilla vacia mas a la izquierda. Cuando todas las casillas se hayan llenado el juego termina. Si el numero que termina escrito es $N$, Borja gana si algun numero de $S$ divide a $N$ si no entonces Ana gana. Encuetra que jugador tiene estrategia ganadora y cual es.

Sea $\Gamma$ el circuncírculo del triángulo $ABC$. La paralela a $AC$ que pasa por $B$ corta a $\Gamma$ en $D$ ($D\neq B$) y la paralela a $AB$ que pasa por $C$ corta a $\Gamma$ en $E$ ($E\neq C$). Las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $P$, y las rectas $AC$ y $BE$ se cortan en $Q$. Sea $M$ el punto medio de $DE$. La recta $AM$ corta a $\Gamma$ en $Y$ ($Y\neq A$) y a la recta $PQ$ en $J$. La recta $PQ$ corta al circuncírculo del triángulo $BCJ$ en $Z$ ($Z\neq J$). Si las rectas $BQ$ y $CP$ se cortan en $X$, demuestra que $X$ pertenece a la recta $YZ$.

Sea $ABC$ un triangulo equilatero con circuncentro $O$ y circuncirculo $\omega$. Sea $D$ un punto en el arco menor $BC$ de $\omega$, con $DB>DC$. La mediatriz de $OD$ corta a $\omega$ en $E,F$ con $E$ en el arco menor $BC$. Las lineas $BE$ y $CF$ se cortan en $P$. Demuestra que $PD\perp BC$.

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo con circuncirculo $\Gamma$. Sean $P$ y $Q$ puntos en el semiplano definido por $BC$ que contiene a $A$, de manera que $BP$ y $CQ$ son tangentes a $\Gamma$ con $PB=BC=CQ$. Sean $K$ y $L$ los puntos en la bisectriz externa de $\angle CAB$ tales que $BK=BA$ y $CL=CA$. Sea $M$ el punto de interseccion de $PK$ y $QL$. Demuestra que $MK=ML$.

Para cada entero positivo $n$, se define $T_n$ como el menor entero positivo tal que $1+2+\cdots+T_n$ es múltiplo de $n$. Determina todos los enteros positivos $m$ tales que $m\geq T_m$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y escaleno. Sean $H$ el ortocentro y $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$, y sea $P$ un punto interior del segmento $HO$. La circunferencia de centro $P$ y radio $PA$ interseca nuevamente a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Denotamos por $Q$ el punto simétrico al punto $P$ con respecto a la mediatriz de $BC$. Demuestra que los puntos $P$, $Q$, $R$ y $S$ pertenecen a una misma circunferencia.