Sea $S$ un conjunto finito de enteros positivos donde para todo elemento $x\in S$ se cumple que todos los divisores de $x$ tambien estan en $S$. Un subconjunto $T\subset S$ es bueno si para todo $x,y\in T$ y $x<y$ se cumple que $\frac{y}{x}$ es una potencia de un primo. Un subconjunto $T\subset S$ es malo si nunca sucede que para $x,y\in T$ $\frac{x}{y}$ es una potencia de un primo. Un conjunto con exactamente un elemento se considera bueno y malo. Sea $k$ el tamaño del subconjunto bueno mas grande de $S$. Demuestra que $k$ tambien es el número mas pequeño tal que $S$ es la union de $k$ subconjuntos malos que sean disjuntos por parejas.

Sea $n$ un entero posiivo. Sea $P_n=\{2^n,2^{n-1}\cdot 3, 2^{n-2}\cdot 3^2,\ldots, 3^n\}$. Para cada subconjunto $X\subset P_n$ decimos que $S_X$ es la suma de todos los elementos de $X$. Cuando $X=\emptyset$, $S_\emptyset=0$. Sea $0\leq y\leq 3^{n+1}-2^{n+1}$ un numero real, demuestra que existe un subconjunto $Y\subset P_n$ tal que $0\leq y-S_Y<2^n$.

Encuentra todas las funciones $f:(\mathbb{R}^+)^3\to \mathbb{R}$ tales que para todos los numeros reales positivos $x,y,z,k$ se cumplen las siguientes tres condiciones: (a) $xf(x,y,z)=zf(z,y,x)$ (b) $f(x,ky,kz^2)=kf(x,y,z)$ (c) $f(1,k,k+1)=k+1$.

Encuentra todos los enteros positivos $x,y,z$ tales que $$x^5+4^y=2013^z.$$

Sea $P=\{p_1,p_2,\ldots, p_{10}\}$ un conjunto de $10$ primos distintos y sea $A$ el conjunto de todos los enteros mayores que $1$ tales que en su descomposición en factores primos aparecen únicamente primos de $P$. Los elementos de $A$ se colorean de tal forma que: a. cada elemento de $P$ tiene un color distinto, b. si $m,n\in A$, entonces $mn$ tiene el mismo color de $m$ o $n$, c. Para cualquier par de colores distintos $R$ y $S$, no existen $j,k,m,n\in A$ (no necesariamente distintos), con $j,k$ de color $R$ y $m,n$ de color $S$, tales que $j$ divide a $m$ y $n$ divide a $k$, simultáneamente. Demuestre que existe un primo de $P$ tal que todos sus múltiplos en $A$ tienen el mismo color.

Sea $ABCDEF$ un hexagono convexo de area $1$, con lados opestos paralelos. Las lineas $AB,CD$ y $EF$ forman los lados de un triangulo. Similarmente los lados $BC,DE$ y $FA$ forman los lados de otro triangulo. Demuestra que almenos uno de estos dos triangulos tiene area mayor o igual a $\frac{3}{2}$.

Sea $ABC$ un triangulo con $\angle ABC>90$ y con circuncirculo $\Gamma$ done $O$ es el centro de $\Gamma$. Sea $D$ el punto de interseccion de $AB$ con la perpendicular a $AC$ en $C$. Sea $\ell$ la linea por $D$ perpendicular a $AO$. Sea $E$ la interseccion de $\ell$ con $AC$, y sea $F$ el punto de interseccion de $\Gamma$ con $\ell$ que se encuentra entre $D$ y $E$. Demuestra que los circuncirculos de $BFE$ y $CFD$ son tangentes en $F$.

Para un conjunto finito $C$ de enteros, se define $S(C)$ como la suma de los elementos de $C$. Encuentre dos conjuntos no vacíos $A$ y $B$ cuya intersección es vacía, cuya unión es el conjunto $\{1,2,\ldots, 2021\}$ y tales que el producto $S(A)S(B)$ es un cuadrado perfecto.

Sean $a,b,c,x,y,z$ numeros reales tales que $$a^2+x^2=b^2+y^2=c^2+z^2=(a+b)^2+(x+y)^2=(b+c)^2+(y+z)^2=(c+a)^2+(z+x)^2$$ Demuestra que $a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2$.

En una competencia de matematicas, algunos de los competidores son amigos; la amistad es reciproca donde si $A$ es amigo de $B$ entonces $B$ es amigo de $A$. Decimos que $n\geq 3$ competidores $A_1,A_2,\ldots, A_n$ forman un ciclo debilmente-amigable si las unicas parejas de no amigos son $A_i$ y $A_{i+1}$ para todo $1\leq i\leq n$ ($A_{n+1}=A_1$). En la competencia se cumple la siguiente propiedad: Para cada competidor $C$ y ciclo debilmente-amigable $S$ que no contiene a $C$, $S$ tiene a lo más un competidor $D$ que no es amigo de $C$. Demuestra que todos los competidores se pueden acomodar en $3$ grupos, de manera que en cada grupo todos los competidores son amigos entre si.