Sea $p$ un número primo, entonces $$(p-1)!\equiv -1\text{ mod }p.$$

Decimos que $(AC;BD)=-1$ es una hilera harmonica si los $4$ puntos $A,B,C,D$ son colineales y estan en ese orden y se cumple que $$\frac{AB}{AD}=-\frac{CB}{CD}$$ El signo negativo es porque se usan segmentos dirigidos. $$ $$ Decimos que $P(AC;BD)=-1$ es un haz armonico donde $(AC;BD)=-1$ es una hilera harmonica y $P$ es un punto fuera de la linea $AD$. Entonces si una linea $\ell$ corta a las lineas $PA,PB,PC,PD$ en $A',B',C',D'$ respectivamente, tenemos que $P(A'C';B'D')=-1$ es un haz harmonico o equivalentemente que $(A'C';B'D')=-1$ es una hilera harmonica.

Dados dos polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ con $\deg P\geq \deg Q$ tenemos que existen un polinomio $s(x)$ y otro polinomio $r(x)$ con $\deg r<\deg Q$ llamado el residuo de $P$ dividido por $Q$ tal que cumple $$P(x)=Q(x)s(x)+r(x).$$

Dados dos enteros con factorizaciones primas $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ y $m=q_1^{\beta_1}q_2^{\beta_2}\cdots q_k^{\beta_k}$, tenemos que $n$ divide a $m$ si y solo si para toda $i$ existe una $j$ tal que $p_i=q_j$ y $\alpha_i\leq \beta_j$. Otra forma de decir esto es que el exponente de cada primo sea mayor en $m$ que en $n$.

Sea $k$ el orden de $a$ modulo $n$. Entonces se cumplen las siguientes propiedades: 1. $k$ divide a cualquier otro entero $j$ tal que $a^j\equiv 1\text{ mod }n$. 2. Todas las congruencias $a,a^2,a^3,\cdots a^k$ son diferentes modulo $n$.

Dado un punto $O$ y un punto $P$. Decimos que la polar de $P$ con respecto a $O$ con radio $r$ es la linea $\ell$ tal que si $P'$ es el punto en la linea $OP$ tal que $OP\cdot OP'=r^2$ entonces $\ell$ es la linea perpendicular a $OP$ que pasa por $P'$. Analogamente, dada una linea $\ell$ su polo es el punto $P$ tal que $OP$ es perpendicular a $\ell$ con interseccion en $P'$ y de manera que $OP\cdot OP'=r^2$.

Sea $p$ un primo y $n$ un entero. Definimos $v_p(n)$ como el mayor entero positivo tal que $p^{v_p(n)}\mid n$. Si $p\neq 2$, entonces para cualesquiera enteros $a,b$ tales que $p\mid a-b$ tenemos que $$v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)+v_p(n).$$ Para $p=2$ tenemos $$v_2(a^n-b^n)=v_2(a-b)+v_2(a+b)+v_2(n)-1.$$

Decimos que $a\mid b$ o que un entero $a$ divide a otro entero $b$ si existe un entero $k$ tal que $ak=b$.

Sean $a,b,c,d$ y $n$ enteros y sea $p$ un primo entonces tenemos las siguientes propiedades de congruencias de modulos. 1. (Reflectividad) $a\equiv a\text{ mod } n$. 2. (Linealidad) Si $a\equiv b \text{ mod } n$ y $c\equiv d\text{ mod } n $ entonces $a+b\equiv c+d\text{ mod } n$. 3. (Multiplicatividad) Si $a\equiv b\text{ mod }n$ y $c\equiv d\text{ mod }n$ entonces $ab\equiv cd\text{ mod } n$. 4. (Divisores) Si $a\equiv b \text{ mod } n$ y $m\mid n$ entonces $a\equiv b\text{ mod } m$. 5. (Productos) Si $a\equiv b\text{ mod } n$ entonces $ac\equiv bc \text{ mod } nc$. 6. (Inverso multiplicativo modulo primos) Si $a\not\equiv 0\text{ mod }p$ entonces existe un entero $k$ tal que $ak\equiv 1\text{ mod }p$. Y llamamos a este $k$ como $a^{-1}$ o $\frac{1}{a}$. 7. ('Dividir'modulo primos) Si $ab\equiv cb \text{ mod }p$ entonces $a\equiv c\text{ mod }p$. (Esta ultima propiedad es al multiplicar por el inverso multiplicativo $b^{-1}$.)

Sea $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0=a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)$$ un polinomio con raices $r_1,r_2,\ldots, r_n$. Entonces tenemos las siguientes igualdades para todo $i\leq 0\leq n$ $$\frac{a_i}{a_n}=(-1)^{n-i}\sum r_{c_1}r_{c_2}\cdots r_{c_{n-i}}$$ Donde la suma es sobre todas las permutaciones de $i$ elementos del $1$ al $n$. Por ejemplo: $$\frac{a_0}{a_n}=(-1)^nr_0r_1\cdots r_n, \qquad \frac{a_{n-1}}{a_n}=-r_1-r_2-\cdots -r_n.$$