Sea $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0$ un polinomio con coefficientes enteros. Si existe un primo $p$ que cumple las siguientes dos condiciones entonces $P(x)$ es irreducible en los racionales. - $p$ divide a todo $a_i$ excepto a $a_n$. - $p^2$ no divide a $a_0$.

Todo polinomio $P(x)$ de grado $n$ con coeficientes complejos tiene exactamente $n$ raices $r_1,r_2,\ldots, r_n$ (no necesariamente distintas). Y el polinomio se puede factorizar como $$P(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots (x-r_n).$$

Sea $k$ un entero y sea $s_n$ una sucesion definida recursivamente por $$s_n=a_{1}s_{n-1}+a_{2}s_{n-2}+\cdots +a_{k}s_{n-k}, n>k$$ Sea $P(x)$ el polinomio $$P(x)=x^k-a_1x^{k-1}-a_2x^{k-2}-\cdots-a_k$$ y sean $\alpha_1,\alpha_2,\ldots, \alpha_k$ las raices de este polinomio entonces existen valores unicos de $\gamma_1,\gamma_2,\ldots, \gamma_k$ tales que cumplen que $$s_n=\gamma_1\alpha_1^n+\gamma_2\alpha_2^n+\cdots+\gamma_k\alpha_k^n.$$

Sea $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ la descomposicion prima de $n$. Entonces $n$ tiene exactamente $$\prod_{i=1}^k (\alpha_i+1).$$

Decimos que un entero $k$ es el orden de $a$ modulo $n$ si $k$ es el entero mas pequeño tal que $$a^k\equiv 1\text{ mod }n.$$ El orden siempre existe cuando $(a,n)=1$ ($a$ y $n$ son primos relativos).

Dados tres enteros $a,b,n$ decimos que $a\equiv b \text{ mod } n$ ($a$ es congruente a $b$ modulo $n$) si $n\mid a-b$.

Dados puntos $P,Q,R$ y sus polares $p,q,r$. Entonces $P,Q,R$ son colineales si y solo si $p,q,r$ son concurrentes.

Dado un número $n$, entonces para cualquier numero $a$ con $(a,n)=1$ se cumple que:\n$$n\mid a^{\varphi(n)}-1$$\nDonde $\varphi(n)$ es el numero de enteros positivos menores a $n$ que son primos relativos con $n$.

Dados $n+1$ objetos y $n$ casillas en donde colocarlos, no importa como acomodes todos los objetos hay almenos una casilla que tiene $2$ objetos o mas.

Dado un primo $p$, entonces para cualquier numero $a$ que no sea multiplo de $p$ se cumple que: $$p\mid a^{p-1}-1$$ Equivalentemente que $a^{p-1}\equiv 1\text{ mod } p$.