Sea $n$ un entero impar mayor a $1$ y sean $c_1, c_2, \ldots, c_n$ enteros. Para cada permutación $a = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ de $\{1,2,\ldots,n\}$, definimos $S(a) = \sum_{i=1}^n c_i a_i$. Muestra que existen permutaciones distintas $a$ y $b$ de $\{1,2,\ldots,n\}$ tales que $n!$ es divisor de $S(a)-S(b)$.

Sea $n$ un número entero positivo. Un cuadrado nórdico es un tablero de $n\times n$ que contiene todos los números del $1$ al $n^2$ de modo que cada celda contiene exactamente un número. Dos celdas diferentes son adyacentes si comparten un mismo lado. Una celda que solamente es adyacente a celdas que contienen números mayores se llama un valle. Un camino ascendente es una sucesión de una o más celdas tales que: i. la primera celda de la sucesión es un valle, ii. cada celda subsiguiente de la sucesión es adyacente a la celda anteiror, y iii. los números escritos en las celdas de la sucesión están en orden creciente. Hallar, como función de $n$, el menor número total de caminos ascendentes en un cuadrado nórdico.

Sea $n\geq 2$ un número entero. Considera $2n$ puntos alrededor de un círculo. Cada vértice se ha marcado con un número entero desde $1$ hasta $n$, inclusive, y cada uno de estos enteros se ha utilizado exactamente dos veces. Isabel divide los puntos en $n$ pares, y dibuja los segmentos que los unen, con la condición de que estos segmentos no se crucen. A continuación, asigna a cada segmento el mayor número entero entre sus puntos extremos. Muestra que, independientemente de cómo se hayan marcado los puntos, Isabel siempre puede elegir los pares de forma que utilice exactamente $\lceil \frac{n}{2}\rceil$ números para marcar los segmentos. ¿Se pueden etiquetar los puntos de tal manera que, independientemente de cómo Isabel divida los puntos en pares, siempre utilice exactamente $\lceil \frac{n}{2}\rceil$ números para etiquetar los segmentos? Nota: Para cada número real $x$, $\lceil x\rceil$ denota el menor número entero mayor o igual que $x$. Por ejemplo, $\lceil 3.6\rceil=4$ y $\lceil 2\rceil =2$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. La recta $BI$ se encuentra con $AC$ en $D$. Sea $P$ un punto en $CI$ tal que $DI=DP$, $(P\neq I)$, $E$ el segundo punto de intersección del segmento $BC$ con el circuncírculo de $ABD$ y $Q$ el segundo punto de intersección de la recta $EP$ con el circuncírculo de $AEC$. Demuestra que $\angle PDQ=90^\circ$.

Una lista de enteros positivos se llama buena si el elemento máximo de la lista aparece exactamente una vez. Una sublista es una lista formada por uno o más elementos consecutivos de una lista. Por ejemplo, la lista $10,34,34,22,30,22$ la sublista $22,30,22$ es buena y $10,34,34,22$ no lo es. Una lista es muy buena si todas sus sublistas son buenas. Encontrar el valor mínimo de $k$ tal que exista una lista muy buena de longitud $2019$ con $k$ valores diferentes en ella.

Hallar todas las ternas $(a,b,p)$ de numeros enteros positivos con $p$ primo que satisfacen $$a^p=b!+p.$$

Sean $a>b$ enteros positivos relativamente primos. Un saltamontes se sitúa en el punto $0$ de una recta numérica. Cada minuto, el saltamontes salta de acuerdo con las siguientes reglas: Si el minuto actual es un múltiplo de $a$ y no un múltiplo de $b$, salta $a$ unidades hacia adelante. Si el minuto actual es un múltiplo de $b$ y no un múltiplo de $a$, salta $b$ unidades hacia atrás. Si el minuto actual es tanto un múltiplo de $a$ como un múltiplo de $b$, salta $a-b$ unidades hacia adelante. Si el minuto actual no es ni un múltiplo de $a$ ni un múltiplo de $b$, no se mueve. Encuentra todas las posiciones de la recta numérica que el saltamontes acabará alcanzando.

Los números reales positivos $a_1$, $a_2$, $a_3$ son tres términos consecutivos de una progresión aritmética, y análogamente, $b_1$, $b_2$, $b_3$ son números reales positivos distintos y términos consecutivos de una progresión aritmética. ¿Es posible utilizar tres segmentos de longitudes $a_1$, $a_2$, $a_3$ como bases, y otros tres segmentos de longitudes $b_1$, $b_2$, $b_3$ como alturas, para construir tres rectángulos de igual área?

Determina todos los conjuntos no vacíos $C_1$, $C_2$, $C_3$, $\cdots$, tales que cada uno de ellos tiene un número finito de elementos, y todos sus elementos son enteros positivos, con la siguiente propiedad: Para cualesquiera enteros positivos $n$ y $m$, el número de elementos del conjunto $C_n$ más el número de elementos del conjunto $C_m$ es igual a la suma de los elementos del conjunto $C_{m+n}$. \nNota: Al denotar por $\lvert C_k \lvert$ el número de elementos del conjunto $C_k$ y $S_k$ como la suma de los elementos del conjunto $C_k$, la condición del problema es que para cada $m$ y $n$ enteros positivos se cumple $$\lvert C_n \lvert + \lvert C_m \lvert = S_{n + m} .$$

Sea $k$ un entero positivo y $S$ un conjunto finito de primos impares. Muestra que a lo mas hay una manera (sin contar rotacion ni reflexion) de colocar los elementos de $S$ alrededor de un circulo tal que el producto de cualesquiera dos vecinos es de la forma $x^2+x+k$, para algun entero positivo $x$.