332 El paralelogramo $ABCD$ no es un rombo. La razón de las longitudes de las diagonales $|AC|/|BD|$ es igual a $k$. El rayo $[AM)$ es simétrico al rayo $[AD)$ con respecto a la recta $(AC)$. El rayo $[BM)$ es simétrico al rayo $[BC)$ con respecto a la recta $(BD)$. (El punto $M$ es la intersección de dichos rayos). Encuentre la razón $|AM|/|BM|$.

181 cuadrados de una hoja de papel cuadriculado infinita están pintados de color negro (los demás son blancos). En cada movimiento, todos los cuadrados de la hoja cambian su color simultáneamente. El cuadrado adquiere el color que tenía la mayoría de tres cuadrados: el cuadrado mismo, su vecino de la derecha y su vecino de arriba. a) Demuestre que, después de un número finito de movimientos, todos los cuadrados negros desaparecerán. b) Demuestre que esto ocurrirá a más tardar en el movimiento $n$-ésimo.

164 Dados varios cuadrados con un área total de $1$. Demuestre que es posible colocarlos dentro de un cuadrado de área $2$ sin que se solapen.

202 Sea un polígono convexo. No se puede colocar ningún triángulo con área $1$ dentro de él. Demuestre que se puede colocar el polígono dentro de un triángulo con área $4$.

173 Un torneo de hockey de una sola ronda ha finalizado (cada equipo juega contra cada uno de los demás una vez; el ganador obtiene $2$ puntos, el perdedor $0$ y $1$ punto por empate). Para cualquier subgrupo de equipos, existe un equipo (que puede pertenecer a dicho subgrupo) que ha obtenido un número impar de puntos en los partidos contra los equipos del subgrupo. Demuestre que el número de participantes era par.

313 Encuentre todas las sucesiones de naturales $k_n$ con dos propiedades: a) $k_n \le n \sqrt {n}$ para todo $n$ b) $(k_n - k_m)$ es divisible por $(m-n)$ para todo $m>n$

199 Dos personas juegan al juego de "gatos y ratones" en un tablero de ajedrez de $8\times 8$. El primero tiene una pieza, un ratón; el segundo tiene varias piezas, gatos. Todas las piezas tienen cuatro movimientos disponibles (arriba, abajo, izquierda, derecha) hacia la casilla vecina, pero el ratón también puede escapar del tablero si se encuentra en el borde del mismo. Si aparecen en la misma casilla, el ratón es devorado. Los jugadores mueven por turnos, pero el segundo puede mover todos los gatos en direcciones independientes. a) Sean dos gatos. El ratón se encuentra en una casilla interior. ¿Es posible colocar a los gatos en tales casillas del borde de modo que puedan atrapar al ratón? b) Sean tres gatos, pero el ratón se mueve dos veces durante el primer turno. Demuestre que el ratón puede escapar.

147 Dado un cuadrado unitario y algunos círculos en su interior. El radio de cada círculo es menor que $0.001$, y no existe ningún par de puntos pertenecientes a círculos diferentes cuya distancia entre ellos sea exactamente $0.001$. Demuestre que el área cubierta por los círculos no es mayor que $0.34$.

200 a) Demuestre que es posible reordenar los números $1, 2, ... , 32$ de tal manera que, para cada par de números, ninguno de los números situados entre ellos sea igual a su media aritmética. b) ¿Es posible reordenar los números $1, 2, ... , 100$ de tal manera que, para cada par de números, ninguno de los números situados entre ellos sea igual a su media aritmética?

178 Los números reales $a,b,c$ satisfacen la condición: para todo $x$ tal que $-1 \le x \le 1$, se cumple la desigualdad $$| ax^2 + bx + c | \le 1$$ Demuestre que para el mismo $x$, $$| cx^2 + bx + a | \le 2$$