204 Sea un triángulo $ABC$ con área $1$. Sean $A', B'$ y $C'$ los puntos medios de los lados $[BC], [CA]$ y $[AB]$ respectivamente. ¿Cuál es el área mínima posible de la parte común de los dos triángulos $A'B'C'$ y $KLM$, si los puntos $K, L$ y $M$ se encuentran sobre los segmentos $[AB'], [CA']$ y $[BC']$ respectivamente?

180 El polinomio cuadrático $f(x)=ax^2+bx+c$ es de tal naturaleza que la ecuación $f(x)=x$ no tiene raíces reales. Demuestre que la ecuación $f(f(x))=0$ tampoco tiene raíces reales.

151 Algunos números están escritos a lo largo de un anillo. Si la desigualdad $(a-d)(b-c) < 0$ se cumple para cuatro números arbitrarios en secuencia $a,b,c,d$, usted debe intercambiar las posiciones de los números $b$ y $c$. Demuestre que usted tendrá que realizar esta operación un número finito de veces.

171 ¿Es posible colocar los números $0, 1$ o $2$ en los cuadrados unitarios de una cuadrícula de $100\times 100$ de tal manera que cada rectángulo de $3\times 4$ (y $4\times 3$) contenga tres ceros, cuatro unos y cinco doses?

165 Sea $O$ el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero convexo $ABCD$. Demuestre que la recta trazada a través de los puntos de intersección de las medianas de los triángulos $AOB$ y $COD$ es ortogonal a la recta trazada a través de los puntos de intersección de las alturas de los triángulos $BOC$ y $AOD$.

195 Dado un cuadrado $ABCD$. Los puntos $P$ y $Q$ están en los lados $[AB]$ y $[BC]$ respectivamente. $|BP|=|BQ|$. Sea $H$ el pie de la perpendicular desde el punto $B$ al segmento $[PC]$. Demuestre que $\angle DHQ =90^o$.

190 Entre todos los números representables como $36^k - 5^l$ ($k$ y $l$ son números naturales), encuentre el más pequeño. Demuestre que es realmente el más pequeño.

194 Encuentre todos los números reales $a,b,c$ tales que la igualdad $$|ax+by+cz| + |bx+cy+az| + |cx+ay+bz| = |x|+|y|+|z|$$ sea válida para todos los números reales $x,y,z$.

193 Dados $n$ vectores de longitud unitaria en el plano. La longitud de su suma total es menor que uno. Demuestre que es posible reordenarlos para satisfacer la propiedad: para todo $k, k\le n$, la longitud de la suma de los primeros $k$ vectores es menor que $2$.

Dados algunos puntos rojos y azules. Algunos de ellos están conectados por segmentos. Llamemos "exclusivo" a un punto si su color difiere del color de más de la mitad de los puntos conectados a él. En cada movimiento, un punto "exclusivo" arbitrario es repintado al otro color. Demuestre que, después de un número finito de movimientos, no quedarán puntos "exclusivos".