172 Sean $x_1, x_2, ... , x_n$ números positivos cuya suma es $1$. Sea $s$ el mayor de los números $$\left\{\frac{x_1}{1+x_1}, \frac{x_2}{1+x_1+x_2}, ..., \frac{x_n}{1+x_1+...+x_n}\right\}$$ ¿Cuál es el valor mínimo posible de $s$? ¿Qué valores de $x_i$ le corresponden?

171 ¿Es posible colocar los números $0, 1$ o $2$ en los cuadrados unitarios de una cuadrícula de $100\times 100$ de tal manera que cada rectángulo de $3\times 4$ (y $4\times 3$) contenga tres ceros, cuatro unos y cinco doses?

169 Sean $x,y$ números positivos, $s$ el menor de los elementos del conjunto $\{ x, (y+ 1/x), 1/y\}$. ¿Cuál es el mayor valor posible de $s$? ¿A qué valores de $x$ e $y$ corresponde?

147 Dado un cuadrado unitario y algunos círculos en su interior. El radio de cada círculo es menor que $0.001$, y no existe ningún par de puntos pertenecientes a círculos diferentes cuya distancia entre ellos sea exactamente $0.001$. Demuestre que el área cubierta por los círculos no es mayor que $0.34$.

148 Los volúmenes de agua contenidos en cada uno de tres recipientes suficientemente grandes son enteros. Solo se le permite trasladar algunas veces de un recipiente a otro el mismo volumen de agua que el recipiente de destino ya contiene. Demuestre que es posible vaciar uno de los recipientes.

173 Un torneo de hockey de una sola ronda ha finalizado (cada equipo juega contra cada uno de los demás una vez; el ganador obtiene $2$ puntos, el perdedor $0$ y $1$ punto por empate). Para cualquier subgrupo de equipos, existe un equipo (que puede pertenecer a dicho subgrupo) que ha obtenido un número impar de puntos en los partidos contra los equipos del subgrupo. Demuestre que el número de participantes era par.

168 Un juego para dos. Uno da un dígito y el segundo lo sustituye en lugar de un asterisco en la siguiente diferencia: $$**** - **** = $$ Luego, el primero da el siguiente dígito, y así sucesivamente $8$ veces. El primero quiere obtener la mayor diferencia posible, el segundo, la menor. Demuestre que: 1. El primero puede operar de tal manera que la diferencia no sea menor que $4000$, independientemente del comportamiento del segundo. 2. El segundo puede operar de tal manera que la diferencia no sea mayor que $4000$, independientemente del comportamiento del primero.

176 Dados $n$ puntos, $n > 4$. Demuestre que puede conectarlos con flechas, de tal manera que pueda llegar a cada punto desde cualquier otro punto, habiendo pasado por una o dos flechas. (Puede conectar cada par con una sola flecha, y moverse a lo largo de la flecha en una sola dirección).

163 La tabla triangular se construye de acuerdo con la siguiente regla: Se coloca el número natural $a>1$ en la fila superior y, debajo de cada número $k$, se escribe $k^2$ a la izquierda y $(k+1)$ a la derecha. Por ejemplo, si $a = 2$, se obtiene la tabla de la imagen. Demuestre que todos los números en cada línea particular son diferentes.

180 El polinomio cuadrático $f(x)=ax^2+bx+c$ es de tal naturaleza que la ecuación $f(x)=x$ no tiene raíces reales. Demuestre que la ecuación $f(f(x))=0$ tampoco tiene raíces reales.