Encuentra todas las soluciones enteras de la ecuación\n\[\frac {x^{7} - 1}{x - 1} = y^{5} - 1.\]

Definimos una secuencia $ \left(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \right)$ por\n\[ a_{n} = \frac {1}{n}\left(\left\lfloor\frac {n}{1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac {n}{2}\right\rfloor + \cdots + \left\lfloor\frac {n}{n}\right\rfloor\right),\n\] donde $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera de $x$ .\na) Demuestra que $a_{n+1}>a_n$ infinitamente seguido.\nb) Demuestra que $a_{n+1}<a_n$ infinitamente seguido.

Asigne a cada lado $b$ de un polígono convexo $P$ el área máxima de un triángulo que tiene a $b$ como lado y está contenido en $P$ . Demuestre que la suma de las áreas asignadas a los lados de $P$ es al menos dos veces el área de $P$ .

Se eligen 9 puntos $ A_{1}$ , $ B_{1}$ , $ C_{1}$ en los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ de un triángulo $ ABC$ respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $ AB_{1}C_{1}$ , $ BC_{1}A_{1}$ , $ CA_{1}B_{1}$ se intersectan con la circunferencia circunscrita del triángulo $ ABC$ nuevamente en los puntos $ A_{2}$ , $ B_{2}$ , $ C_{2}$ respectivamente ( $ A_{2}\neq A, B_{2}\neq B, C_{2}\neq C$ ) . Los puntos $ A_{3}$ , $ B_{3}$ , $ C_{3}$ son simétricos a $ A_{1}$ , $ B_{1}$ , $ C_{1}$ con respecto a los puntos medios de los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ respectivamente. Demuestre que los triángulos $ A_{2}B_{2}C_{2}$ y $ A_{3}B_{3}C_{3}$ son similares.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Una circunferencia que pasa por los puntos $A$ y $D$ y una circunferencia que pasa por los puntos $B$ y $C$ son tangentes externamente en un punto $P$ dentro del cuadrilátero. Suponga que $\[\angle{PAB}+\angle{PDC}\leq 90^\circ\qquad\text{y}\qquad\angle{PBA}+\angle{PCD}\leq 90^\circ.\] Demuestra que $AB+CD \geq BC+AD$ .

Para todo entero positivo $n$ , muestra que existe un entero positivo $m$ tal que $n$ divide a $2^{m} + m$ .

Un pastel tiene la forma de un cuadrado de $ n$ x $ n$ compuesto por $ n^{2}$ cuadrados unitarios. Las fresas se encuentran en algunos de los cuadrados unitarios de modo que cada fila o columna contiene exactamente una fresa; llame a esta disposición $\mathcal{A}$ . Sea $\mathcal{B}$ otra disposición de este tipo. Suponga que cada rectángulo de cuadrícula con un vértice en la esquina superior izquierda del pastel contiene no menos fresas de la disposición $\mathcal{B}$ que de la disposición $\mathcal{A}$ . Demuestre que la disposición $\mathcal{B}$ se puede obtener de $ \mathcal{A}$ realizando una serie de conmutaciones, definidas de la siguiente manera: Una conmutación consiste en seleccionar un rectángulo de cuadrícula con solo dos fresas, situadas en su esquina superior derecha y en su esquina inferior izquierda, y mover estas dos fresas a las otras dos esquinas de ese rectángulo.

Un torneo $ (n, k) -$ es un concurso con $ n$ jugadores que se celebra en $ k$ rondas de tal manera que:\n$ (i)$ Cada jugador juega en cada ronda, y cada dos jugadores se encuentran como m\'aximo una vez.\n$ (ii)$ Si el jugador $ A$ se encuentra con el jugador $ B$ en la ronda $ i$ , el jugador $ C$ se encuentra con el jugador $ D$ en la ronda $ i$ , y el jugador $ A$ se encuentra con el jugador $ C$ en la ronda $ j$ , entonces el jugador $ B$ se encuentra con el jugador $ D$ en la ronda $ j$ .\nDetermine todos los pares $ (n, k)$ para los que existe un torneo $ (n, k) -$ .

Si $a,b,c$ son los lados de un triángulo, demuestre que \[\frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{c+a-b}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{a+b-c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}\leq 3 ]

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n > 1$ con coeficientes enteros y sea $k$ un entero positivo. Considera el polinomio $Q(x) = P(P(\ldots P(P(x)) \ldots ))$ , donde $P$ ocurre $k$ veces. Demuestra que hay a lo más $n$ enteros $t$ tales que $Q(t) = t$ .