3 Sea $n$ un entero positivo, y sean $a_1,a_2,..,a_n$ enteros positivos distintos dos a dos. Demuestre que $$\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{[a_1,a_2,…,a_k]}} <4,$$ donde $[a_1,a_2,…,a_k]$ es el mínimo común múltiplo de los enteros $a_1,a_2,…,a_k$ . ThE-dArK-lOrD

4 Determine los enteros $k\geq 2$ para los cuales la sucesión $\Big\{ \binom{2n}{n} \pmod{k}\Big\}_{n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}}$ es eventualmente periódica. ThE-dArK-lOrD

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $M$ el punto medio de $AC$ . Una circunferencia $\omega$ que pasa por $B$ y $M$ corta a los lados $AB$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente. Sea $T$ el punto tal que $BPTQ$ es un paralelogramo. Suponga que $T$ está sobre el circuncírculo de $ABC$ . Determine todos los valores posibles de $\frac{BT}{BM}$ .

3 Demuestre que: (a) Si $(a_n)_{n\geq 1}$ es una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tal que $\frac{a_{2n-1}+a_{2n}}{a_n}$ es una constante cuando $n$ recorre todos los enteros positivos, entonces esta constante es un entero mayor o igual que $4$ ; y (b) Dado un entero $N\geq 4$ , existe una sucesión estrictamente creciente $(a_n)_{n\geq 1}$ de enteros positivos tal que $\frac{a_{2n-1}+a_{2n}}{a_n}=N$ para todos los índices $n$ . ThE-dArK-lOrD

4 Dado cualquier entero positivo $n$ , demuestre que: (a) Cualesquiera $n$ puntos del cuadrado unitario cerrado $[0,1]\times [0,1]$ pueden unirse mediante un camino de longitud menor que $2\sqrt{n}+4$ ; y (b) Existen $n$ puntos del cuadrado unitario cerrado $[0,1]\times [0,1]$ que no pueden unirse mediante un camino de longitud menor que $\sqrt{n}-1$ . ThE-dArK-lOrD

1 Dado un entero positivo $n$ , determine todas las funciones $f$ de los primeros $n$ enteros positivos en los enteros positivos, que satisfacen las siguientes dos condiciones: (1) $\sum_{k=1}^{n}{f(k)}=2n$ ; y (2) $\sum_{k\in K}{f(k)}=n$ para ningún subconjunto $K$ de los primeros $n$ enteros positivos. ThE-dArK-lOrD

2 Dados un entero positivo $k$ y un entero $a\equiv 3 \pmod{8}$ , demuestre que $a^m+a+2$ es divisible por $2^k$ para algún entero positivo $m$ . ThE-dArK-lOrD

3 Dado un entero positivo $n$ , demuestre que para ningún conjunto de enteros módulo $n$ cuyo tamaño exceda $1+\sqrt{n+4}$ es posible que las sumas dos a dos de pares no ordenados sean todas distintas. ThE-dArK-lOrD

4 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, y sean $P$ , $Q$ , $R$ y $S$ puntos sobre los lados $AB$ , $BC$ , $CD$ y $DA$ , respectivamente. Sean los segmentos $PR$ y $QS$ los que se cortan en $O$ . Suponga que cada uno de los cuadriláteros $APOS$ , $BQOP$ , $CROQ$ y $DSOR$ tiene una circunferencia inscrita. Demuestre que las rectas $AC$ , $PQ$ y $RS$ son concurrentes o paralelas entre sí.

1 Determine las configuraciones planas finitas $C$ que constan de al menos $3$ puntos y satisfacen las siguientes condiciones: si $x$ y $y$ son puntos distintos de $C$ , existe $z\in C$ tal que $xyz$ son tres vértices de triángulos equiláteros ThE-dArK-lOrD