Determine el mayor entero positivo $k$ que satisface la siguiente propiedad: El conjunto de enteros positivos se puede dividir en $k$ subconjuntos $A_1, A_2, \ldots, A_k$ tal que para todos los enteros $n \geq 15$ y todos los $i \in \{1, 2, \ldots, k\}$ existen dos elementos distintos de $A_i$ cuya suma es $n.$

Sea $\mathcal{S}$ un conjunto finito de al menos dos puntos en el plano. Asuma que no hay tres puntos de $\mathcal S$ que sean colineales. Un molinete es un proceso que comienza con una línea $\ell$ que pasa por un solo punto $P \in \mathcal S$ . La línea gira en el sentido de las agujas del reloj alrededor del pivote $P$ hasta la primera vez que la línea se encuentra con algún otro punto perteneciente a $\mathcal S$ . Este punto, $Q$ , toma el relevo como el nuevo pivote, y la línea ahora gira en el sentido de las agujas del reloj alrededor de $Q$ , hasta que se encuentre con un punto de $\mathcal S$ . Este proceso continúa indefinidamente. Demuestre que podemos elegir un punto $P$ en $\mathcal S$ y una línea $\ell$ que pase por $P$ de tal manera que el molinete resultante utilice cada punto de $\mathcal S$ como pivote infinitas veces.

Suponga que $1000$ estudiantes están de pie en un círculo. Demuestre que existe un entero $k$ con $100 \leq k \leq 300$ tal que en este círculo existe un grupo contiguo de $2k$ estudiantes, para los cuales la primera mitad contiene el mismo número de niñas que la segunda mitad.

Sea $p$ un número primo impar. Para cada entero $a,$ defina el número $S_a = \sum^{p-1}_{j=1} \frac{a^j}{j}.$ Sean $m,n \in \mathbb{Z},$ tales que $S_3 + S_4 - 3S_2 = \frac{m}{n}.$ Demuestre que $p$ divide a $m.$

Sean $P(x)$ y $Q(x)$ dos polinomios con coeficientes enteros, tales que ningún polinomio no constante con coeficientes racionales divide tanto a $P(x)$ como a $Q(x)$. Suponga que para cada entero positivo $n$ los enteros $P(n)$ y $Q(n)$ son positivos, y $2^{Q(n)}-1$ divide a $3^{P(n)}-1.$ Demuestre que $Q(x)$ es un polinomio constante.

Sea $f$ una función del conjunto de los enteros al conjunto de los enteros positivos. Suponga que, para cualesquiera dos enteros $m$ y $n$, la diferencia $f(m) - f(n)$ es divisible por $f(m- n)$. Demuestre que, para todos los enteros $m$ y $n$ con $f(m) \leq f(n)$, el número $f(n)$ es divisible por $f(m)$.

Para cada entero positivo $k,$ sea $t(k)$ el mayor divisor impar de $k.$ Determina todos los enteros positivos $a$ para los cuales existe un entero positivo $n,$ tal que todas las diferencias \[t(n+a)-t(n); t(n+a+1)-t(n+1), \ldots, t(n+2a-1)-t(n+a-1)\] son divisibles por 4.

Sea $n \geq 1$ un entero impar. Determina todas las funciones $f$ del conjunto de los enteros a sí mismo, tal que para todos los enteros $x$ e $y$ la diferencia $f(x)-f(y)$ divide a $x^n-y^n.$

Considera un polinomio $P(x) = \prod^9_{j=1}(x+d_j),$ donde $d_1, d_2, \ldots d_9$ son nueve enteros distintos. Demuestra que existe un entero $N,$ tal que para todos los enteros $x \geq N$ el número $P(x)$ es divisible por un número primo mayor que 20.

Para cualquier entero $d > 0,$ sea $f(d)$ el menor entero posible que tiene exactamente $d$ divisores positivos (así que por ejemplo tenemos $f(1)=1, f(5)=16,$ y $f(6)=12$ ) . Demuestra que para cada entero $k \geq 0$ el número $f\left(2^k\right)$ divide a $f\left(2^{k+1}\right).$