María tiene una balanza que puede indicar cuál de sus platillos es más pesado o si tienen pesos iguales. También tiene 4 pesas que parecen iguales pero cuyas masas son 1001, 1002, 1004 y 1005 g. ¿Puede María determinar la masa de cada pesa en 4 pesajes? Las pesas para un nuevo pesaje pueden elegirse cuando se conoce el resultado de los anteriores. El Jurado (Para el examen de mayores) La misma pregunta cuando el platillo izquierdo de la balanza es 1 g más liviano que el derecho, de modo que la balanza indica igualdad cuando la masa en el platillo izquierdo es 1 g mayor que la masa en el platillo derecho. Alexey Tolpygo

¿Para cuáles $n{}$ es posible que un producto de $n{}$ enteros positivos consecutivos sea igual a una suma de $n{}$ enteros positivos consecutivos (no necesariamente los mismos)? Boris Frenkin

Es bien sabido que una ecuación cuadrática no tiene más de 2 raíces. ¿Es posible que la ecuación $\lfloor x^2\rfloor+px+q=0$ con $p\neq 0$ tenga más de 100 raíces? Alexey Tolpygo

Sea $O{}$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ . Sea $M{}$ el punto medio de $AC$ . La recta $BO$ interseca las alturas $AA_1{}$ y $CC_1{}$ en los puntos $H_a$ y $H_c$ , respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $BH_aA$ y $BH_cC$ tienen un segundo punto de intersección $K{}$ . Demuestre que $K{}$ se encuentra sobre la recta $BM$ . Mikhail Evdokimov

Sean $AX$ y $BZ$ alturas del triángulo $ABC$ . Sean $AY$ y $BT$ sus bisectrices. Se da que los ángulos $XAY$ y $ZBT$ son iguales. ¿Implica esto necesariamente que $ABC$ es isósceles? El Jurado

El mismo que Spring 2020, Senior O-Level

¿Es posible dividir un cuadrado en 4 triángulos isósceles tales que no haya dos congruentes? ¿Es posible dividir un triángulo equilátero en 4 triángulos isósceles tales que no haya dos congruentes? Vladimir Rastorguev

Hay varias fichas de dominó sobre un tablero, de modo que cada ficha ocupa dos celdas adyacentes y ninguna de las fichas es adyacente a otra por lado o por vértice. Las celdas inferior izquierda y superior derecha del tablero están libres. Una ficha comienza en la celda inferior izquierda y puede moverse a una celda adyacente por lado: un paso a la derecha o hacia arriba en cada turno. ¿Es siempre posible moverse desde la celda inferior izquierda hasta la celda superior derecha sin pasar por fichas de dominó si el tamaño del tablero es a) $100 \times 101$ celdas y b) $100 \times 100$ celdas? Nikolay Chernyatiev

1 ¿Existe un entero $ N$ tal que $ \left(\sqrt{1997}-\sqrt{1996}\right)^{1998}=\sqrt{N}-\sqrt{N-1}$ ?

2 Halle todos los números reales $ \alpha$ que satisfacen la siguiente propiedad: para cualquier entero positivo $ n$ existe un entero $ m$ tal que $ \left |\alpha-\frac{m}{n}\right|<\frac{1}{3n}$ .