16 Demuestre que existe un entero positivo $n$ tal que la representación decimal de $7^n$ contiene un bloque de al menos $m$ ceros consecutivos, donde $m$ es cualquier entero positivo dado.

17 Demuestre que existe un poliedro convexo con todos sus vértices sobre la superficie de una esfera y con todas sus caras triángulos isósceles congruentes cuyas razones de lados son $\sqrt{3} :\sqrt{3} :2$ .

18 Demuestre que el número $19^{1976} + 76^{1976}$ : $(a)$ es divisible por el número primo (de Fermat) $F_4 = 2^{2^4} + 1$ ; $(b)$ es divisible por al menos cuatro primos distintos de $F_4$ .

19 Para un entero positivo $n$ , sea $6^{(n)}$ el número natural cuya representación decimal consiste en $n$ dígitos $6$ . Defínase, para todos los números naturales $m$ , $k$ con $1 \leq k \leq m$ \[\left[\begin{array}{ccc}m\\ k\end{array}\right] =\frac{ 6^{(m)} 6^{(m-1)}\cdots 6^{(m-k+1)}}{6^{(1)} 6^{(2)}\cdots 6^{(k)}} .\] Demuestre que para todo $m, k$ , $ \left[\begin{array}{ccc}m\\ k\end{array}\right] $ es un número natural cuya representación decimal consiste en exactamente $k(m + k - 1) - 1$ dígitos.

20 Sea $(a_n), n = 0, 1, . . .,$ una sucesión de números reales tal que $a_0 = 0$ y \[a^3_{n+1} = \frac{1}{2} a^2_n -1, n= 0, 1,\cdots\] Demuestre que existe un número positivo $q, q < 1$ , tal que para todo $n = 1, 2, \ldots ,$ \[|a_{n+1} - a_n| \leq q|a_n - a_{n-1}|,\] y dé explícitamente uno de tales $q$ .

21 Halle el mayor número real positivo $p$ (si existe) tal que la desigualdad \[x^2_1+ x_2^2+ \cdots + x^2_n\ge p(x_1x_2 + x_2x_3 + \cdots + x_{n-1}x_n)\] se satisfaga para todos los números reales $x_i$ , y $(a) n = 2; (b) n = 5.$ Halle el mayor número real positivo $p$ (si existe) tal que la desigualdad se cumpla para todos los números reales $x_i$ y todos los números naturales $n, n \ge 2.$

22 Se da un pentágono regular $A_1A_2A_3A_4A_5$ con longitud de lado $s$ . En cada punto $A_i$ , se construye una esfera $K_i$ de radio $\frac{s}{2}$ . Hay dos esferas $K_1$ y $K_2$ , cada una de radio $\frac{s}{2}$ , tangentes a las cinco esferas $K_i.$ Decida si $K_1$ y $K_2$ se intersecan entre sí, son tangentes entre sí, o no tienen puntos comunes.

23 Demuestre que en un plano euclidiano hay infinitos círculos concéntricos $C$ tales que todos los triángulos inscritos en $C$ tienen al menos un lado irracional.

24 Sea $0 \le x_1 \le x_2\le\cdots\le x_n \le 1$ . Demuestre que para todo $A \ge 1$ , existe un intervalo $I$ de longitud $2\sqrt[n]{A}$ tal que para todo $x \in I$ , \[|(x - x_1)(x - x_2) \cdots (x -x_n)| \le A.\]

1 Sea $ABCD$ un paralelogramo tal que $|AB| > |BC|$. Sea $O$ un punto sobre la recta $CD$ tal que $|OB| = |OD|$. Sea $\omega$ una circunferencia con centro $O$ y radio $|OC|$. Si $T$ es la segunda intersección de $\omega$ y $CD$, demuestra que $AT$, $BO$ y $\omega$ son concurrentes. Propuesto por Ivan Novak.