Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo todos cuyos lados son tangentes a un círculo $\omega$ con centro $O$. Suponga que el circuncírculo del triángulo $ACE$ es concéntrico con $\omega$. Sea $J$ el pie de la perpendicular desde $B$ a $CD$. Suponga que la perpendicular desde $B$ a $DF$ interseca la línea $EO$ en un punto $K$. Sea $L$ el pie de la perpendicular desde $K$ a $DE$. Demuestra que $DJ=DL$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$ y sea $D$ el punto medio de $AC$. La bisectriz del ángulo $\angle BAC$ interseca el círculo que pasa por $D,B$ y $C$ en el punto $E$ dentro del triángulo $ABC$. La línea $BD$ interseca el círculo que pasa por $A,E$ y $B$ en dos puntos $B$ y $F$. Las líneas $AF$ y $BE$ se encuentran en un punto $I$, y las líneas $CI$ y $BD$ se encuentran en un punto $K$. Muestra que $I$ es el incentro del triángulo $KAB$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y circuncírculo $\omega$. Sean $D$ y $E$ los segundos puntos de intersección de $\omega$ con $AI$ y $BI$, respectivamente. La cuerda $DE$ se encuentra con $AC$ en un punto $F$, y $BC$ en un punto $G$. Sea $P$ el punto de intersección de la línea que pasa por $F$ paralela a $AD$ y la línea que pasa por $G$ paralela a $BE$. Suponga que las tangentes a $\omega$ en $A$ y $B$ se encuentran en un punto $K$. Demuestra que las tres líneas $AE,BD$ y $KP$ son paralelas o concurrentes.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncírculo $\Omega$. Sea $B_0$ el punto medio de $AC$ y sea $C_0$ el punto medio de $AB$. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ y sea $G$ el centroide del triángulo $ABC$. Sea $\omega$ un círculo que pasa por $B_0$ y $C_0$ que es tangente al círculo $\Omega$ en un punto $X\not= A$. Demuestra que los puntos $D,G$ y $X$ son colineales.

Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R$ una función con valores reales definida en el conjunto de los números reales que satisface \[f(x + y) \leq yf(x) + f(f(x))\] para todos los números reales $x$ e $y$. Demuestre que $f(x) = 0$ para todo $x \leq 0$.

Sea $\mathcal{S}$ un conjunto finito de al menos dos puntos en el plano. Suponga que no hay tres puntos de $\mathcal S$ que sean colineales. Un molinete es un proceso que comienza con una línea $\ell$ que pasa por un solo punto $P \in \mathcal S$. La línea gira en el sentido de las agujas del reloj alrededor del pivote $P$ hasta la primera vez que la línea se encuentra con algún otro punto que pertenece a $\mathcal S$. Este punto, $Q$, toma el relevo como el nuevo pivote, y la línea ahora gira en el sentido de las agujas del reloj alrededor de $Q$, hasta que se encuentra con un punto de $\mathcal S$. Este proceso continúa indefinidamente. Demuestre que podemos elegir un punto $P$ en $\mathcal S$ y una línea $\ell$ que pase por $P$ de modo que el molinete resultante use cada punto de $\mathcal S$ como pivote infinitas veces.

Dado cualquier conjunto $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ de cuatro enteros positivos distintos, denotamos la suma $a_1 +a_2 +a_3 +a_4$ por $s_A$. Sea $n_A$ el número de pares $(i, j)$ con $1 \leq i < j \leq 4$ para los cuales $a_i +a_j$ divide a $s_A$. Encuentra todos los conjuntos $A$ de cuatro enteros positivos distintos que alcanzan el mayor valor posible de $n_A$.

En una mesa cuadrada de $2011 \times 2011$ celdas, colocamos un número finito de servilletas que cubren cada una un cuadrado de $52 \times 52$ celdas. En cada celda escribimos el número de servilletas que la cubren, y registramos el número máximo $k$ de celdas que contienen todas el mismo número distinto de cero. Considerando todas las configuraciones posibles de servilletas, ¿cuál es el valor más grande de $k$?

Sea $n$ un entero positivo, y sea $W = \ldots x_{-1}x_0x_1x_2 \ldots$ una palabra periódica infinita, que consta solo de letras $a$ y/o $b$ . Suponga que el período mínimo $N$ de $W$ es mayor que $2^n$ . Se dice que una palabra finita no vacía $U$ aparece en $W$ si existen índices $k \leq \ell$ tales que $U=x_k x_{k+1} \ldots x_{\ell}$ . Una palabra finita $U$ se llama ubicua si las cuatro palabras $Ua$ , $Ub$ , $aU$ , y $bU$ todas aparecen en $W$ . Demuestre que hay al menos $n$ palabras finitas no vacías ubicuas.

Sea $m$ un entero positivo, y considere un tablero de ajedrez de $m\times m$ que consta de cuadrados unitarios. En el centro de algunos de estos cuadrados unitarios hay una hormiga. En el momento $0$ , cada hormiga comienza a moverse con velocidad $1$ paralela a algún borde del tablero de ajedrez. Cuando dos hormigas que se mueven en direcciones opuestas se encuentran, ambas giran $90^{\circ}$ en el sentido de las agujas del reloj y continúan moviéndose con velocidad $1$ . Cuando más de $2$ hormigas se encuentran, o cuando dos hormigas que se mueven en direcciones perpendiculares se encuentran, las hormigas continúan moviéndose en la misma dirección que antes de encontrarse. Cuando una hormiga llega a uno de los bordes del tablero de ajedrez, se cae y no reaparecerá. Considerando todas las posiciones iniciales posibles, determine el último momento posible en el que la última hormiga se cae del tablero de ajedrez, o demuestre que tal momento no necesariamente existe.