1 Cuatro números consecutivos de tres dígitos se dividen respectivamente entre cuatro números consecutivos de dos dígitos. ¿Cuál es el número mínimo de residuos diferentes que se pueden obtener? (A. Golovanov)

2 Los puntos $K$ y $L$ sobre el lado $BC$ de un triángulo $\triangle{ABC}$ son tales que $\widehat{BAK}=\widehat{CAL}=90^\circ$. Demuestra que el punto medio de la altura trazada desde $A$, el punto medio de $KL$ y el circuncentro de $\triangle{ABC}$ son colineales. (A. Akopyan, S. Boev, P. Kozhevnikov)

3 Números positivos $a,\ b,\ c$ satisfacen $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3$. Demuestra la desigualdad \[\dfrac{1}{\sqrt{a^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^3+1}}\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}. \] (N. Alexandrov)

4 Se dibuja un 'paralelogramo' de $k\times \ell$ sobre un papel con celdas hexagonales (consta de $k$ filas horizontales de $\ell$ celdas cada una). En este paralelogramo se elige un conjunto de lados de hexágonos que no se intersecan; divide todos los vértices en pares. Juniors) ¿Cuántos lados verticales puede haber en este conjunto? Seniors) ¿De cuántas maneras se puede hacer eso? [asy] size(120); defaultpen(linewidth(0.8)); path hex = dir(30)--dir(90)--dir(150)--dir(210)--dir(270)--dir(330)--cycle; for(int i=0;i<=3;i=i+1) { for(int j=0;j<=2;j=j+1) { real shiftx=j*sqrt(3)/2+i*sqrt(3),shifty=j*3/2; draw(shift(shiftx,shifty)*hex); } } [/asy] (T. Doslic)

5 Hay un número par de tarjetas sobre una mesa; en cada tarjeta está escrito un entero positivo. Sea $a_k$ el número de tarjetas que tienen escrito $k$. Se sabe que \[a_n-a_{n-1}+a_{n-2}- \cdots \ge 0 \] para cada entero positivo $n$. Demuestra que las tarjetas se pueden dividir en pares de modo que los números en cada par difieran en $1$. (A. Golovanov)

6. Cada uno de los $n$ cuadrados negros y $n$ cuadrados blancos se puede obtener de cualquier otro mediante una traslación. Cada dos cuadrados de distinto color tienen un punto en común. Demuestra que existe un punto que pertenece al menos a $n$ cuadrados. (V. Dolnikov)

4 Demuestra la siguiente desigualdad: $$ \frac{1}{\sqrt[3]{1^2}+\sqrt[3]{1 \cdot 2}+\sqrt[3]{2^2} }+\frac{1}{\sqrt[3]{3^2}+\sqrt[3]{3 \cdot 4}+\sqrt[3]{4^2} }+...+ \frac{1}{\sqrt[3]{999^2}+\sqrt[3]{999 \cdot 1000}+\sqrt[3]{1000^2} }> \frac{9}{2}$$ (El miembro de la izquierda tiene 500 fracciones.)

Sean \( a, b, c \) enteros positivos coprimos por pares. Denota por \( g(a, b, c) \) el máximo entero no representable en la forma \( xa+yb+zc \) con \( x, y, z \) enteros positivos. Demuestra que \[ g(a, b, c)\ge \sqrt{2abc} \] (M. Ivanov) Observaciones (¡contienen spoilers!) 1. Se puede demostrar que \( g(a,b,c)\ge \sqrt{3abc} \). 2. La constante \( 3 \) es la mejor posible, como lo prueba la ecuación \( g(3,3k+1,3k+2)=9k+5 \).

1 Dados tres primos distintos. ¿Cuál es el número máximo de estos primos que puede dividir a su suma? (A. Golovanov)

2 Un 'paralelogramo' de $k\times \ell$ se dibuja en un papel con celdas hexagonales (consiste en $k$ filas horizontales de $\ell$ celdas cada una). En este paralelogramo se elige un conjunto de lados de hexágonos que no se intersectan; divide todos los vértices en pares. Juniors) ¿Cuántos lados verticales puede haber en este conjunto? Seniors) ¿De cuántas maneras se puede hacer eso? [asy] size(120); defaultpen(linewidth(0.8)); path hex = dir(30)--dir(90)--dir(150)--dir(210)--dir(270)--dir(330)--cycle; for(int i=0;i<=3;i=i+1) { for(int j=0;j<=2;j=j+1) { real shiftx=j*sqrt(3)/2+i*sqrt(3),shifty=j*3/2; draw(shift(shiftx,shifty)*hex); } } [/asy] (T. Doslic)