Encuentre cuatro enteros positivos, cada uno no mayor que $70000$ y cada uno con más de $100$ divisores.

En un triángulo $ABC$, la circunferencia inscrita toca los lados $BC, CA, AB$ en los puntos $A',B', C'$, respectivamente; la circunferencia exinscrita en el ángulo $A$ toca las líneas que contienen estos lados en $A_1,B_1, C_1$, y de manera similar, las circunferencias exinscritas en los ángulos $B$ y $C$ tocan estas líneas en $A_2,B_2, C_2$ y $A_3,B_3, C_3$. Demuestre que el triángulo $ABC$ es rectángulo si y sólo si una de las ternas de puntos $(A',B_3, C'),$ $ (A_3,B', C_3), (A',B', C_2), (A_2,B_2, C'), (A_2,B_1, C_2), (A_3,B_3, C_1),$ $ (A_1,B_2, C_1), (A_1,B_1, C_3)$ es colineal.

Sea $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ un hexágono inscrito en un círculo con centro $O$. Considere el arco circular con extremos $A_1,A_6$ que no contiene a $A_2$. Para cualquier punto $M$ de ese arco, denote por $h_i$ la distancia desde $M$ a la línea $A_iA_{i+1} \ (1 \leq i \leq 5)$. Construya $M$ tal que la suma $h_1 + \cdots + h_5$ sea máxima.

Dado un entero $n \geq 2$ , determina todos los números de $n$ dígitos $M_0 = \overline{a_1a_2 \cdots a_n} \ (a_i \neq 0, i = 1, 2, . . ., n)$ divisibles por los números $M_1 = \overline{a_2a_3 \cdots a_na_1}$ , $M_2 = \overline{a_3a_4 \cdots a_na_1 a_2}$ , $\cdots$ , $M_{n-1} = \overline{a_na_1a_2 . . .a_{n-1}}.$

Encuentra el entero más pequeño $n$ con la siguiente propiedad: Para cualquier conjunto $V$ de $8$ puntos en el plano, no tres sobre una línea, y para cualquier conjunto $E$ de n segmentos de línea con puntos finales en $V$ , se puede encontrar una línea recta que interseca al menos $4$ segmentos en $E$ en puntos interiores.

Dados los enteros positivos $r, v, n$ sea $S(r, v, n)$ el número de $n$ - tuplas de enteros no negativos $(x_1, \cdots, x_n)$ que satisfacen la ecuación $x_1 +\cdots+ x_n = r$ y tal que $x_i \leq v$ para $i = 1, \cdots , n$ . Demuestra que \[S(r, v, n)=\sum_{k=0}^{m} (-1)^k \binom nk \binom{r - (v + 1)k + n - 1}{n-1}\] Donde $m=\left\{n,\left[\frac{r}{v+1}\right]\right\}.$

Resuelve el sistema de ecuaciones \[\tan x_1 +\cot x_1=3 \tan x_2,\] \[\tan x_2 +\cot x_2=3 \tan x_3,\] \[\vdots\] \[\tan x_n +\cot x_n=3 \tan x_1\]

Sean $a, b, c, d$ las longitudes de los lados de un cuadrilátero circunscrito alrededor de un círculo y sea $S$ su área. Demuestra que $S \leq \sqrt{abcd}$ y encuentra las condiciones para la igualdad.

Sea $D$ el punto en el lado $BC$ del triángulo $ABC$ tal que $AD$ es la bisectriz de $\angle CAB$ . Sea $I$ el incentro de $ ABC.$ (a) Construye los puntos $P$ y $Q$ en los lados $AB$ y $AC$ , respectivamente, tal que $PQ$ es paralelo a $BC$ y el perímetro del triángulo $APQ$ es igual a $k \cdot BC$ , donde $k$ es un número racional dado. (b) Sea $R$ el punto de intersección de $PQ$ y $AD$ . ¿Para qué valor de $k$ se cumple la igualdad $AR = RI$? (c) ¿En qué caso se cumplen las igualdades $AR = RI = ID$?

Sean $C_1, C_2$ círculos de radio $1/2$ tangentes entre sí y ambos tangentes internamente a un círculo $C$ de radio $1$ . Los círculos $C_1$ y $C_2$ son los dos primeros términos de una secuencia infinita de círculos distintos $C_n$ definidos de la siguiente manera: $C_{n+2}$ es tangente externamente a $C_n$ y $C_{n+1}$ e internamente a $C$ . Demuestra que el radio de cada $C_n$ es el recíproco de un entero.