3 Danielle quiere pintar de negro algunas casillas de un tablero de $2 \times n$ de modo que cada casilla tenga un número impar de casillas vecinas pintadas de negro. Sea $a_n$ el número de maneras de pintar el tablero de $2 \times n$ . Halle $a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_{2022}$ . Nota: Dos casillas son vecinas si comparten un lado.