Sean $p_1<p_2<p_3<p_4$ y $q_1<q_2<q_3<q_4$ dos conjuntos de números primos, tales que $p_4 - p_1 = 8$ y $q_4 - q_1= 8$. Suponga que $p_1 > 5$ y $q_1>5$. Demuestre que $30$ divide a $p_1 - q_1$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en un círculo. Suponga que $AB=\sqrt{2+\sqrt{2}}$ y $AB$ subtiende $135$ grados en el centro del círculo. Encuentre el área máxima posible de $ABCD$.

Euclides tiene una herramienta llamada 'cyclos' que le permite hacer lo siguiente: Dados tres puntos marcados no colineales, dibuja el circulo que pasa a traves de ellos. Dados dos puntos marcados, dibuja el circulo con ellos como puntos finales de un diametro. Marca cualquier punto de interseccion de dos circulos dibujados o marca un nuevo punto en un circulo dibujado. Muestre que dados dos puntos marcados, Euclides puede dibujar un circulo centrado en uno de ellos y que pasa por el otro, usando solo el 'cyclos'.

Euler marca $n$ puntos diferentes en el plano euclidiano. Para cada par de puntos marcados, Gauss escribe el numero $\lfloor \log_2 d \rfloor$ donde $d$ es la distancia entre los dos puntos. Pruebe que Gauss escribe menos de $2n$ valores distintos. \n\t Nota: Para cualquier $d>0$ , $\lfloor \log_2 d\rfloor$ es el unico entero $k$ tal que $2^k\le d<2^{k+1}$ .

Sean $k \geq 1$ y $N>1$ dos enteros. En un circulo son colocadas $2N+1$ monedas todas mostrando cara. Calvin y Hobbes juegan el siguiente juego. Calvin comienza y en su movimiento puede cambiar cualquier moneda de cara a cruz. Hobbes en su movimiento puede cambiar a lo mas una moneda que este al lado de la moneda que Calvin acaba de cambiar de cruz a cara. Calvin gana si en algun momento hay $k$ monedas mostrando cruz despues que Hobbes haya hecho su movimiento. Determine todos los valores de $k$ para los cuales Calvin gana el juego.

Sea $\mathbb N$ denote el conjunto de todos los enteros positivos. Encuentre todos los numeros reales $c$ para los cuales existe una funcion $f:\mathbb N\to \mathbb N$ satisfaciendo: para cualquier $x,a\in\mathbb N$ , la cantidad $\frac{f(x+a)-f(x)}{a}$ es un entero si y solo si $a=1$ ; para todo $x\in \mathbb N$ , tenemos $|f(x)-cx|<2023$ .

Suponga que $a_0,\ldots, a_{100}$ son reales positivos. Considere el siguiente polinomio para cada $k$ en $\{0,1,\ldots, 100\}$ : $$a_{100+k}x^{100}+100a_{99+k}x^{99}+a_{98+k}x^{98}+a_{97+k}x^{97}+\dots+a_{2+k}x^2+a_{1+k}x+a_k,$$ donde los indices son tomados modulo $101$ , i.e. , $a_{100+i}=a_{i-1}$ para cualquier $i$ en $\{1,2,\dots, 100\}$ . Muestre que es imposible que cada uno de estos $101$ polinomios tenga todas sus raices reales.

Sea $S$ un conjunto finito de enteros positivos. Asuma que hay precisamente 2023 pares ordenados $(x,y)$ en $S\times S$ tal que el producto $xy$ es un cuadrado perfecto. Pruebe que uno puede encontrar al menos cuatro elementos distintos en $S$ tal que ninguno de sus productos por pares es un cuadrado perfecto. \n\t Nota: Como un ejemplo, si $S=\{1,2,4\}$ , hay exactamente cinco tales pares ordenados: $(1,1)$ , $(1,4)$ , $(2,2)$ , $(4,1)$ , y $(4,4)$ .

Sea $f$ una función definida desde $((x,y) : x,y$ real, $xy\ne 0)$ al conjunto de todos los números reales positivos tal que $ (i) f(xy,z)= f(x,z)\cdot f(y,z)$ para todo $x,y \ne 0$ $ (ii) f(x,yz)= f(x,y)\cdot f(x,z)$ para todo $x,y \ne 0$ $ (iii) f(x,1-x) = 1 $ para todo $x \ne 0,1$ Demuestre que $ (a) f(x,x) = f(x,-x) = 1$ para todo $x \ne 0$ $(b) f(x,y)\cdot f(y,x) = 1 $ para todo $x,y \ne 0$ La condición (ii) se omitió en el papel, lo que llevó a un problema incompleto durante el concurso.

Sea $AB$ el diámetro de un círculo $\Gamma$ y sea $C$ un punto en $\Gamma$ diferente de $A$ y $B$ . Sea $D$ el pie de la perpendicular de $C$ a $AB$ . Sea $K$ un punto en el segmento $CD$ tal que $AC$ es igual al semi perímetro de $ADK$ . Demuestre que la circunferencia exinscrita de $ADK$ opuesta a $A$ es tangente a $\Gamma$ .