Sean $n$ y $M$ enteros positivos tales que $M>n^{n-1}$ . Demuestre que existen $n$ primos distintos $p_1,p_2,p_3 \cdots ,p_n$ tales que $p_j$ divide a $M + j$ para todo $1 \le j \le n$ .

Sean $m,n$ enteros positivos distintos. Demuestre que $$\gcd(m,n) + \gcd(m+1,n+1) + \gcd(m+2,n+2) \le 2|m-n| + 1. $$ Además, determine cuándo se cumple la igualdad.

Sea $A_1B_1C_1D_1E_1$ un pentágono regular. Para $ 2 \le n \le 11$ , sea $A_nB_nC_nD_nE_n$ el pentágono cuyos vértices son el punto medio de los lados $A_{n-1}B_{n-1}C_{n-1}D_{n-1}E_{n-1}$ . Todos los $5$ vértices de cada uno de los $11$ pentágonos están coloreados arbitrariamente de rojo o azul. Demuestre que cuatro puntos entre estos $55$ puntos tienen el mismo color y forman los vértices de un cuadrilátero cíclico.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle{BAC} > 90$ . Sea $D$ un punto en el segmento $BC$ y $E$ un punto en la línea $AD$ tal que $AB$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ACD$ en $A$ y $BE$ es perpendicular a $AD$ . Dado que $CA=CD$ y $AE=CE$ . Determine $\angle{BCA}$ en grados.

Tengo 6 amigos y durante unas vacaciones me reuní con ellos durante varias cenas. Descubrí que cené con los 6 exactamente en 1 día; con cada 5 de ellos en 2 días; con cada 4 de ellos en 3 días; con cada 3 de ellos en 4 días; con cada 2 de ellos en 5 días. Además, cada amigo estuvo presente en 7 cenas y cada amigo estuvo ausente en 7 cenas. ¿Cuántas cenas tuve solo?

En un grupo de diez personas, a cada persona se le pide que escriba la suma de las edades de las otras nueve personas. De las diez sumas se forma el conjunto de nueve elementos $\{ 82, 83,84,85,87,89,90,91,92 \}$, hallar las edades individuales de las personas, asumiendo que son números enteros.

Si $a,b,c,d$ son cuatro reales positivos tales que $abcd= 1$, probar que $(1+a) (1+b) (1 +c ) (1 +d ) \geq 16.$

Demostrar que $19^{93} - 13^{99}$ es un entero positivo divisible por $162$.

Sea $ABCD$ un rectángulo con $AB = a$ y $BC = b$. Suponga que $r_1$ es el radio del círculo que pasa por $A$ y $B$ tocando $CD$; y similarmente $r_2$ es el radio del círculo que pasa por $B$ y $C$ y tocando $AD$. Demuestre que \[ r_1 + r_2 \geq \frac{5}{8} ( a + b) . \]

Suponga que $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{20}$ es un polígono regular de 20 lados. ¿Cuántos triángulos no isósceles (escalenos) se pueden formar cuyos vértices estén entre los vértices del polígono, pero los lados no sean los lados del polígono?