3 Recuerde que $[x]$ denota el mayor entero que no excede a $x$ para un real $x$ . Para enteros $a, b$ en el intervalo $1 \leq a<b \leq 100$ , halle el número de pares ordenados $(a, b)$ que satisfacen la siguiente ecuación. $$[a+\frac{b}{a}]=[b+\frac{a}{b}]$$

4 $C$ es la circunferencia unitaria en algún plano. $R$ es un cuadrado de lado $a$ . $C$ está fija y $R$ se mueve (sin rotación) en el plano, de modo que su centro permanezca dentro de $C$ (incluyendo los bordes). Halle el valor máximo del área barrida por la traza de $R$ .

5 $O$ es la circunferencia circunscrita de $ABC$ y $CO$ corta a $AB$ en $P$ , y $BO$ corta a $AC$ en $Q$ . Muestre que $BP=PQ=QC$ si y solo si $\angle A=60^{\circ}$ .

6 Para un entero positivo $n$ , sea $p(n)$ el divisor primo más pequeño de $n$ . Halle el número máximo de divisores que puede tener $m$ si $p(m)^4>m$ .

7 $A_0B, A_0C$ son rayos que satisfacen $\angle BA_0C=14^{\circ}$ . Usted debe colocar puntos $A_1, A_2, ...$ de acuerdo con las siguientes reglas. Reglas (1) En el primer movimiento, coloque $A_1$ en cualquier punto de $A_0B$ (excepto $A_0$ ) . (2) En el $n>1$ -ésimo movimiento, coloque $A_n$ en $A_0B$ si y solo si $A_{n-1}$ está en $A_0C$ , y coloque $A_n$ en $A_0C$ si y solo si $A_{n-1}$ está en $A_0B$ . $A_n$ debe colocarse en el punto que satisface $A_{n-2}A_n{n-1}=A_{n-1}A_n$ . Todos los puntos deben colocarse en ubicaciones diferentes. ¿Cuál es el número máximo de puntos que pueden colocarse?

8 Para $S_n=\{1, 2, ..., n\}$ , halle el valor máximo de $m$ que hace verdadera la siguiente proposición. Proposición: existen $m$ subconjuntos diferentes de $S$ , digamos $A_1, A_2, ..., A_m$ , tales que para todo $i, j=1, 2, ..., m$ , el conjunto $A_i \cup A_j$ no es $S$ .

6 Determina todos los enteros \( n\geq 2 \) que tienen la siguiente propiedad: para cualesquiera enteros \(a_1,a_2,\ldots, a_n\) cuya suma no sea divisible por \(n\), existe un índice \(1 \leq i \leq n\) tal que ninguno de los números \[ a_i,a_i+a_{i+1},\ldots,a_i+a_{i+1}+\ldots+a_{i+n-1} \] es divisible por \(n\). Aquí, definimos \(a_i=a_{i-n}\) cuando \(i >n\). Propuesto por Warut Suksompong, Tailandia

1 El rectángulo en la figura tiene dimensiones $16$ x $20$ y está dividido en $10$ rectángulos más pequeños iguales. ¿Cuál es el perímetro de cada uno de los $10$ rectángulos más pequeños?

2 Considera números de la forma $1a1$, donde $a$ es un dígito. ¿Cuántos pares de tales números existen tales que su suma también sea un palíndromo? Nota: Un palíndromo es un número que se lee igual de izquierda a derecha y de derecha a izquierda. Ejemplos: $353$, $91719$.

3 Tadeo dibuja el rectángulo con el mayor perímetro que se puede dividir en $2015$ cuadrados de lado $1$ $cm$ y el rectángulo con el menor perímetro que se puede dividir en $2015$ cuadrados de lado $1$ $cm$. ¿Cuál es la diferencia entre los perímetros de los rectángulos que dibujó Tadeo?