A6 Sean $a(x)$ y $b(x)$ funciones continuas en $[0,1]$ y supongamos que $0 \leq a(x) \leq a <1$ en ese intervalo. ¿Bajo qué otras condiciones (si las hay) la solución de la ecuación para $u,$ $$ u= \max_{0 \leq x \leq 1} b(x) +a(x)u$$ está dada por $$u = \max_{0 \leq x \leq 1} \frac{b(x)}{1-a(x)}.$$

A7 Sean $a$ y $b$ enteros positivos primos relativos, con $b$ par. Para cada entero positivo $q$, sea $p=p(q)$ elegido de modo que $$ \left| \frac{p}{q} - \frac{a}{b} \right|$$ sea mínimo. Demuestra que $$ \lim_{n \to \infty} \sum_{q=1 }^{n} \frac{ q\left| \frac{p}{q} - \frac{a}{b} \right|}{n} = \frac{1}{4}.$$

B1 Dado que $$b_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^{-1}, \;\; n\geq 1,$$ demuestra que $$b_n = \frac{n+1}{2n} b_{n-1} +1, \;\; n \geq 2.$$ Por lo tanto, como corolario, muestra que $$ \lim_{n \to \infty} b_n =2.$$

B2 ¡Hola a todos! ¡Tengo un problema interesante! ¿Pueden resolverlo? Demuestra el Teorema de Erdös-Ginzburg-Ziv: "Entre cualesquiera $2n-1$ enteros, hay algunos $n$ cuya suma es divisible por $n$."

B3 Demuestra que si un cuadrado unitario se particiona en dos conjuntos, entonces el diámetro (la menor cota superior de las distancias entre pares de puntos) de uno de los conjuntos no es menor que $\sqrt{5} \slash 2.$ Demuestra también que ningún número mayor sirve.

B4 Sea $C$ un número real, y sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una función tres veces diferenciable tal que $$ \lim_{x \to \infty} f(x)=C, \;\; \; \lim_{x \to \infty} f'''(x)=0.$$ Demuestra que $$ \lim_{x \to \infty} f'(x) =0 \;\; \text{y} \;\; \lim_{x \to \infty} f''(x)=0.$$

B5 Las longitudes de los segmentos sucesivos de una línea quebrada están representadas por los términos sucesivos de la progresión armónica $1, 1\slash 2, 1\slash 3, \ldots.$ Cada segmento forma con el anterior un ángulo dado $\theta.$ ¿Cuál es la distancia y cuál es la dirección de los puntos límite (si existe alguno) desde el punto inicial del primer segmento?

B6 Sea un grafo completo orientado sobre $n$ puntos. Demuestra que los vértices se pueden enumerar como $v_1 , v_2 ,\ldots, v_n$ de modo que $v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \cdots \rightarrow v_n.$

B7 Sean $a_1 ,a_2 ,\ldots, a_n$ una permutación de los enteros $1,2,\ldots, n.$ Di que $a_i$ es un entero grande si $a_i >a_j$ para todo $i<j.$ Encuentra el número promedio de enteros grandes sobre todas las permutaciones de los primeros $n$ enteros positivos.

A1 Las normales a una superficie intersecan todas una recta fija. Demuestra que la superficie es una porción de una superficie de revolución.