Hay $2019$ monedas en una mesa. Algunas se colocan con la cara hacia arriba y otras con la cruz hacia arriba. Un grupo de $2019$ personas realiza las siguientes operaciones: la primera persona elige cualquier moneda y luego la voltea, la segunda persona elige dos monedas cualesquiera y las voltea y así sucesivamente y la persona número $2019$ voltea todas las monedas. Demuestra que no importa qué lados tengan las monedas inicialmente, las $2019$ personas pueden encontrar un procedimiento para voltear las monedas de modo que todas las monedas tengan el mismo lado hacia arriba al final de las operaciones.

Determina todos los enteros positivos $m$ que satisfacen la condición de que existe un único entero positivo $n$ tal que existe un rectángulo que se puede descomponer en $n$ cuadrados congruentes y también se puede descomponer en $m+n$ cuadrados congruentes.

Sean los puntos $O$ y $H$ el circuncentro y el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC.$ Sea $D$ el punto medio de $BC.$ Sea $E$ el punto en la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ tal que $AE\perp HE.$ Sea $F$ el punto tal que $AEHF$ es un rectángulo. Demuestra que $D,E,F$ son colineales.

Sea $n\ge 2$ un entero. Resuelve en los reales: \[|a_1-a_2|=2|a_2-a_3|=3|a_3-a_4|=\cdots=n|a_n-a_1|.\]

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A=\angle C=30^{\circ}.$ Los puntos $D,E,F$ se eligen en los lados $AB,BC,CA$ respectivamente de modo que $\angle BFD=\angle BFE=60^{\circ}.$ Sean $p$ y $p_1$ los perímetros de los triángulos $ABC$ y $DEF$ , respectivamente. Demuestra que $p\le 2p_1.$

Sean $a_1,a_2,\ldots, a_m$ un conjunto de $m$ números pares positivos distintos y $b_1,b_2,\ldots,b_n$ un conjunto de $n$ números impares positivos distintos tales que \[a_1+a_2+\cdots+a_m+b_1+b_2+\cdots+b_n=2019\] Demuestra que \[5m+12n\le 581.\]

Sea $O$ el circuncentro y $\Omega$ el circuncírculo de un triángulo acutángulo $ABC$ . Sea $P$ un punto arbitrario en $\Omega$ , distinto de $A$ , $B$ , $C$ y sus antípodas en $\Omega$ . Denotemos los circuncentros de los triángulos $AOP$ , $BOP$ y $COP$ por $O_A$ , $O_B$ y $O_C$ , respectivamente. Las líneas $\ell_A$ , $\ell_B$ , $\ell_C$ perpendiculares a $BC$ , $CA$ y $AB$ pasan por $O_A$ , $O_B$ y $O_C$ , respectivamente. Demuestra que la circunferencia circunscrita al triángulo formado por $\ell_A$ , $\ell_B$ y $\ell_C$ es tangente a la línea $OP$ .

Determina todas las funciones $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ que satisfacen $$\left(x+\frac{1}{x}\right)f(y)=f(xy)+f\left(\frac{y}{x}\right)$$ para todo $x,y>0$ .

Determina todos los polinomios mónicos no constantes $f(x)$ con coeficientes enteros para los cuales existe un número natural $M$ tal que para todo $n \geq M$ , $f(n)$ divide a $f(2^n) - 2^{f(n)}$.

Sea $k$ un entero positivo. El comité organizador de un torneo de tenis debe programar los partidos para $2k$ jugadores de modo que cada dos jugadores jueguen una vez, cada día se juega exactamente un partido, y cada jugador llega al sitio del torneo el día de su primer partido y se va el día de su último partido. Por cada día que un jugador está presente en el torneo, el comité tiene que pagar $1$ moneda al hotel. Los organizadores quieren diseñar el calendario para minimizar el costo total de las estancias de todos los jugadores. Determina este costo mínimo.