Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con circuncírculo $\Gamma$ y circuncentro $O$ . Suponga que $AB < AC$ . Sea $H$ el ortocentro e $I$ el incentro del triángulo $ABC$ . Sea $F$ el punto medio del arco $BC$ del circuncírculo del triángulo $BHC$ , que contiene a $H$ . Sea $X$ un punto en el arco $AB$ de $\Gamma$ que no contiene a $C$ , tal que $\angle AXH = \angle AFH$ . Sea $K$ el circuncentro del triángulo $XIA$ . Demuestra que las líneas $AO$ y $KI$ se encuentran en $\Gamma$ .

Dado cualquier conjunto $S$ de enteros positivos, demuestre que al menos una de las dos afirmaciones siguientes es válida: (1) Existen subconjuntos finitos distintos $F$ y $G$ de $S$ tales que $\sum_{x\in F}1/x=\sum_{x\in G}1/x$ ; (2) Existe un número racional positivo $r<1$ tal que $\sum_{x\in F}1/x\neq r$ para todos los subconjuntos finitos $F$ de $S$ .

Sea $f : \{ 1, 2, 3, \dots \} \to \{ 2, 3, \dots \}$ una función tal que $f(m + n) | f(m) + f(n) $ para todos los pares $m,n$ de enteros positivos. Demuestra que existe un entero positivo $c > 1$ que divide todos los valores de $f$ .

Sea $n$ un número natural. Un mosaico de un tablero de $2n \times 2n$ es una colocación de $2n^2$ dominós (de tamaño $2 \times 1$ o $1 \times 2$ ) de tal manera que cada uno de ellos cubre exactamente dos cuadrados del tablero y cubren todo el tablero. Consideremos ahora dos mosaicos separados de un tablero de $2n \times 2n$: uno con dominós rojos y el otro con dominós azules. Decimos que dos cuadrados son vecinos rojos si están cubiertos por el mismo dominó rojo en el mosaico rojo; de manera similar, definimos vecinos azules. Suponga que podemos asignar un entero no nulo a cada uno de los cuadrados de tal manera que el número en cualquier cuadrado sea igual a la diferencia entre los números en sus vecinos rojos y azules, es decir, el número en su vecino rojo menos el número en su vecino azul. Demuestra que $n$ es divisible por $3$.

Sea $\mathbb{Q}_{>0}$ el conjunto de todos los números racionales positivos. Determina todas las funciones $f:\mathbb{Q}_{>0}\to \mathbb{Q}_{>0}$ que satisfacen $$f(x^2f(y)^2)=f(x)^2f(y)$$ para todo $x,y\in\mathbb{Q}_{>0}$

Sea $n$ un entero positivo dado. Sísifo realiza una secuencia de turnos en un tablero que consta de $n + 1$ casillas en una fila, numeradas de $0$ a $n$ de izquierda a derecha. Inicialmente, se colocan $n$ piedras en la casilla $0$ , y las otras casillas están vacías. En cada turno, Sísifo elige cualquier casilla no vacía, digamos con $k$ piedras, toma una de estas piedras y la mueve a la derecha a lo sumo $k$ casillas (la piedra debe permanecer dentro del tablero). El objetivo de Sísifo es mover las $n$ piedras a la casilla $n$ . Demuestra que Sísifo no puede alcanzar el objetivo en menos de \[ \left \lceil \frac{n}{1} \right \rceil + \left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil + \left \lceil \frac{n}{3} \right \rceil + \dots + \left \lceil \frac{n}{n} \right \rceil \] turnos. (Como es habitual, $\lceil x \rceil$ representa el entero más pequeño no menor que $x$ . )

Demuestra que no existen números naturales $a_1, a_2, \dots, a_{2018}$ tales que los números \[ (a_1)^{2018}+a_2, (a_2)^{2018}+a_3, \dots, (a_{2018})^{2018}+a_1 \] sean todos potencias de $5$.

En un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB < AC$ , sea $I$ el incentro y $M$ el punto medio del lado $BC$ . La línea que pasa por $A$ perpendicular a $AI$ interseca a la tangente desde $M$ al incírculo (diferente de la línea $BC$ ) en un punto $P$ . Demuestra que $AI$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $MIP$ .

Dado el conjunto de $7$ elementos $A = \{ a ,b,c,d,e,f,g \}$, encuentra una colección $T$ de subconjuntos de $3$ elementos de $A$ tal que cada par de elementos de $A$ aparece exactamente una vez en uno de los subconjuntos de $T$.

Encuentra el mínimo común múltiplo posible más pequeño de veinte números naturales cuya suma es $801$.