Sean los vértices del cuadrado $ABCD$ en un círculo de radio $r$ y con centro $O$ . Sean $P, Q, R$ y $S$ los puntos medios de $AB, BC, CD$ y $DA$ respectivamente. Entonces; (a) Demuestra que el cuadrilátero $P QRS$ es un cuadrado. (b) Encuentra la distancia desde el punto medio de $P Q$ a $O$ .

Cuál es el número formado por los últimos tres dígitos de $1201^{1202}$ ?

Sean $a_1, a_2, a_3, . . . , a_{2022}$ números reales positivos que pueden ser agrupados en $1011$ pares tales que cada número de un par es el recíproco del otro número. Demuestra que $(1 + a_1)(1 + a_2)(1 + a_3)· · ·(1 + a_{2022}) \geq 2^{2022}$ .

En cuántas maneras se pueden distribuir $10$ bolas del mismo tamaño entre $4$ niños en los siguientes casos: (a) todas las bolas son del mismo color? (b) cada bola es de un color diferente?

Demuestra que $n! \geq n^{\frac{n}{2}}$ para todos los números naturales $n$ . Además, demuestra que la desigualdad es estricta para $n > 2$ .

Las cuerdas $AB$ y $CD$ de un círculo se intersecan dentro del círculo en $P$ tal que $AP = 8, P B = 6, P D = 3$ y $\angle AP C = 60^{\circ}$ . Encuentra el área de $\bigtriangleup AP C$ .

Evalúa $$\frac{1}{1!21!} + \frac{1}{3!19!} + \frac{1}{5!16!} + ... + \frac{1}{21!1!}$$

Sean $AB$ y $CD$ dos líneas paralelas conectadas por la base $BD$ . $AD$ y $BC$ se dibujan y se intersecan en el punto $P$ . Una línea $P Q$ se dibuja desde el punto $P$ a $BD$ tal que $\angle P AB = \angle DP Q$ . Demuestra que $\frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} =\frac{1}{P Q}$ .

Encuentra la suma de todos los divisores positivos de $27000$ .

Para los enteros positivos $a, b$ , $lcm(a, b) = gcd(a, b) = p^2q^4$ , donde $p$ y $q$ son números primos. Encuentra $lcm(ap, bq)$ . Aquí lcm y gcd representan el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor respectivamente.