Supón que $G$ es un grupo finito generado por los dos elementos $g$ y $h$, donde el orden de $g$ es impar. Demuestra que todo elemento de $G$ se puede escribir en la forma \[g^{m_1}h^{n_1}g^{m_2}h^{n_2}\cdots g^{m_r}h^{n_r}\] con $1\le r\le |G|$ y $m_n,n_1,m_2,n_2,\dots,m_r,n_r\in\{1,-1\}.$ (Aquí $|G|$ es el número de elementos de $G$.) Kent

A6 Encuentra la constante más pequeña $C$ tal que para todo polinomio real $P(x)$ de grado $3$ que tenga una raíz en el intervalo $[0,1],$ \[\int_0^1|P(x)|\,dx\le C\max_{x\in[0,1]}|P(x)|.\] Kent

B1 Sea $x_0,x_1,x_2,\dots$ la sucesión tal que $x_0=1$ y para $n\ge 0,$ \[x_{n+1}=\ln(e^{x_n}-x_n)\] (como es usual, la función $\ln$ es el logaritmo natural). Demuestra que la serie infinita \[x_0+x_1+x_2+\cdots\] converge y encuentra su suma.

B2 Define un entero positivo $n$ como "cuadrático" si $n$ es en sí mismo un cuadrado perfecto o si la distancia de $n$ al cuadrado perfecto más cercano es un cuadrado perfecto. Por ejemplo, $2016$ es cuadrático, porque el cuadrado perfecto más cercano a $2016$ es $45^2=2025$ y $2025-2016=9$ es un cuadrado perfecto. (De los enteros positivos entre $1$ y $10,$ solo $6$ y $7$ no son cuadráticos.) Para un entero positivo $N,$ sea $S(N)$ el número de enteros cuadráticos entre $1$ y $N,$ inclusive. Encuentra constantes positivas $\alpha$ y $\beta$ tales que \[\lim_{N\to\infty}\frac{S(N)}{N^{\alpha}}=\beta,\] o demuestra que no existen tales constantes. Kent

B3 Supón que $S$ es un conjunto finito de puntos en el plano tal que el área del triángulo $\triangle ABC$ es a lo más $1$ siempre que $A,B$ y $C$ estén en $S.$ Demuestra que existe un triángulo de área $4$ que (junto con su interior) cubre el conjunto $S.$ Kent

B4 Sea $A$ una matriz de $2n\times 2n$, con entradas elegidas independientemente al azar. Cada entrada se elige como $0$ o $1$, cada una con probabilidad $1/2.$ Encuentra el valor esperado de $\det(A-A^t)$ (como función de $n$), donde $A^t$ es la transpuesta de $A.$ Kent

B5 Encuentra todas las funciones $f$ del intervalo $(1,\infty)$ a $(1,\infty)$ con la siguiente propiedad: si $x,y\in(1,\infty)$ y $x^2\le y\le x^3,$ entonces $(f(x))^2\le f(y) \le (f(x))^3.$

B6 Evalúa \[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{k2^n+1}.\] Kent

A1 Sean $A$ y $B$ puntos en la misma rama de la hipérbola $xy=1.$ Supón que $P$ es un punto entre $A$ y $B$ en esta hipérbola, tal que el área del triángulo $APB$ es lo más grande posible. Demuestra que la región acotada por la hipérbola y la cuerda $AP$ tiene la misma área que la región acotada por la hipérbola y la cuerda $PB.$ Kent

Sea $a_0=1$, $a_1=2$, y $a_n=4a_{n-1}-a_{n-2}$ para $n\ge 2$. Encuentra un factor primo impar de $a_{2015}$.