Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con vértices sobre una circunferencia $\Gamma$. Sea $\ell$ la recta tangente a $\Gamma$ en $A$. Sean $D$ y $E$ los puntos de intersección de la recta $\ell$ y del segmento $AC$ con la circunferencia de centro $B$ y radio $BA$, respectivamente. Muestra que $DE$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$.

En los vértices de un cubo están escritos $8$ enteros positivos distintos y en cada una de las aristas del cubo está escrito el máximo común divisor de los números que están en los $2$ vértices que forman a la arista. Sean $A$ la suma de los números escritos en las aristas y $V$ la suma de los números escritos en los vértices. Muestra que $\frac{2}{3}A\leq V$ . ¿Es posible que $A=V$ ?

Sea $n$ un entero positivo. Encuentra todas las solucions $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$ de numeros reales que satisfacen el siguiente sistema de $n$ ecuaciones: $$a_1^2 + a_1 - 1 = a_2$$ $$a_2^2 + a_2 - 1 = a_3$$ $$\vdots$$ $$a_n^2 + a_n - 1 = a_1$$

Considera un triángulo $ABC$ y un punto $M$ sobre el lado $BC$. Sea $P$ la intersección de las perpendiculares a $AB$ por $M$ y a $BC$ por $B$, y sea $Q$ la intersección de las perpendiculares a $AC$ por $M$ y a $BC$ por $C$. Muestra que $Q$ es perpendicular a $AM$ si y solo si $M$ es el punto medio de $BC$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$, $M$ el punto medio de $BC$ y $H$ el ortocentro de $ABC$. La circunferencia que pasa por $B$, $H$ y $C$ corta a la mediana $AM$ en $N$. Muestra que $\angle ANH=90^\circ$.

Un rey decide realizar un juego para premiar a uno de sus caballeros, para ello, acomoda a los caballeros en una mesa redonda y hace que digan los números $1,2,3$ y repitan de nuevo $1,2,3$ y así sucesivamente (lo dicen en el sentido de las manecillas del reloj y cada persona dice un número). Las personas que dicen $2$ ó $3$ son retiradas inmediatamente y el juego continúa hasta que queda un sólo caballero, el ganador. Se numeran las personas del $1$ al $n$ conforme al primer turno. Encuentra todos los valores de $n$ de tal manera que el ganador sea el caballero $2008$.

Considera un triángulo acutángulo $ABC$ con circuncírculo $\Omega$. Sean $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y $M$ el punto medio de $BC$. Las rectas $AH$, $BH$ y $CH$ cortan por segunda vez a $\Omega$ en $D$, $E$ y $F$, respectivamente; y la recta $MH$ corta a $\Omega$ en $J$ de manera que $H$ queda entre $M$ y $J$. Sean $K$ y $L$ los incentros de los triángulos $DEJ$ y $DFJ$, respectivamente. Muestra que $KL$ es paralela a $BC$.

*Tome libertad de reescribir. Sea $\mathbb{N}=\{0,1,2,\cdots\}$ y $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ una funcion de los naturales a naturales. $f$ cumple que $f(p)=1$ para todo primo $p$ y que $f(ab)=af(b)+bf(a)$. Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que $f(n)=n$

Sean $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$ los divisores del entero positivo $n$. Encuentra todos los números $n$ tales que $n=d_2^2+d_3^3$.

Una pareja de enteros es especial si es de la forma $(n,n-1)$ o de la forma $(n-1,n)$ con $n$ un entero positivo. Muestra que una pareja $(n,m)$ de enteros positivos que no es especial, se puede representar como suma de dos o más parejas especiales diferentes si y sólo si los enteros $n$ y $m$ satisfacen la desigualdad $n+m\geq (n-m)^2$.