La configuración:\nSea $ABC$ un triángulo, $\Gamma$ su circuncírculo, $A'$ el diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$, $H$ su ortocentro, $D, E, F$ los pies de las alturas desde $A, B, C$ respectivamente, $H'$ la reflexión de $H$ por $BC$, $M$ el punto medio de $BC$, $\omega$ el círculo de diámetro $AH$, $Q \neq A$ la intersección de $\omega$ con $\Gamma$, $P$ la intersección de $AM$ con $\omega$, y $X$ la intersección de $EF$ con $BC$. \nNota: Conviene trabajar con un triángulo $ABC$ acutángulo para fines de este documento, pero la configuración tiene las mismas propiedades sin importar la forma del triángulo. Para triángulos isósceles muchos puntos se juntan. Por ejemplo, $A=Q$, $H=P$. Otros puntos como $X$, son puntos al infinito.\n\nColinealidades y concurrencias \n- $A', M, H, Q$ son colineales \n- $P, H, X$ son colineales \n- $A, Q, X$ son colineales \n- $PH, BC, EF, AQ$ concurren en $X$ \n\nCirculos:\n- $A, F, P, H, E, Q$ son concíclicos ($\omega$) \n- $B, F, E, C$ son concíclicos (con centro $M$) \n- $B, P, H, C$ son concíclicos \n- $B, F, Q, X$ son concíclicos (¿cuál es el análogo de esto con $C$ en lugar de $B$?) \n- $P, H, D, M$ son concíclicos \n- $A, P, D, X$ son concíclicos \n- $Q, H, D, X$ son concíclicos \n- $B, P, E, X$ son concíclicos \n- $C, P, F, X$ son concíclicos \n- $H' \in \Gamma$ \n- $F, E, M, D, K$ son concíclicos si $K$ es el punto medio de $AH$ (circunferencia de los nueve puntos de $ABC$) \n- $X$ es el centro radical de $\Gamma, \omega$ y la circunferencia de los nueve puntos de $ABC$ \n- $ME$ y $MF$ son tangentes a $\omega$ \n- La reflexión del circuncírculo de $BHC$ tanto por $M$ como por $BC$ es $\Gamma$. Por lo tanto, dicho círculo y $\Gamma$ tienen el mismo radio. \n- Las reflexiones de $P$ por $M$ y por $BC$ caen en $\Gamma$ \n- $P, D, K, Q$ es cíclico (ver en la sección ""ángulos"" que es la circunferencia de los nueve puntos de $AMX$)\n\nÁngulos \n- $HP$ es perpendicular a $AM$ ($HX$ es perpendicular a $AM$) \n- $AQ$ es perpendicular a $QH$ \n- $A'H'$ es paralela a $BC$ \n- $H$ es el ortocentro del triángulo $AMX$\n\nSimetría:\nEn esta sección mi objetivo es mostrar que $P$ y $Q$, los puntos más importantes de la configuración, son de alguna manera análogos de la misma forma en la que $B$ y $C$ lo son.\n- Si $B$ y $C$ intercambian roles, entonces $E, F$ intercambian roles y el resto del dibujo queda igual \n- Si $A, H$ intercambian roles, entonces $E, F$ y $P, Q$ intercambian roles. El resto del dibujo queda igual. Además, $\omega$ es el mismo círculo

Determina todas las funciones $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ tales que para todos enteros $a,b\in \mathbb{Z}$ se cumple: $$f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).$$

Determina todas las funciones $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Z}$ que satisfacen $$f(\frac{f(x)+a}{b})=f(\frac{x+a}{b})$$ para todo $x\in \mathbb{Q}$, $a\in \mathbb{Z}$ y $b\in \mathbb{Z}_{>0}$. Nota: $\mathbb{Z}_{>0}$ representa el conjunto de enteros positivos.

Te tiene un tablero de ajedrez de $8\times 8$ y se eliminan dos de sus esquinas opuestas. Se dispone de una cantidad suficiente de dominos de $2\times 1$, tales que cada domino cubre exactamente $2$ cuadros del tablero de ajedrez. Determina si es posible cubrir el nuevo tablero sin esquinas opuestas con dominos de manera que estos no se traslapen ni salgan del tablero.

Una cuarteta de enteros positivos distintos $a,b,c,d$ se dice que es $buena$ si hay 2 de ellos tales que su producto es múltiplo del máximo común divisor de los otros 2. Encuentra el máximo valor de $n$ para el cuál toda cuarteta de enteros de enteros positivos distintos menores o iguales a $n$ es buena

Sean $a$ y $b$ dos numeros, entonces los siguientes se cumplen: $(i)$ $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ ab^{n-2}+b^{n-1})$ $(ii)$ si $n$ es impar, $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})$ $(iii)$ $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ $(iv)$ $a^4+4b^4=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2=(a^2-2ab+b^2)(a^2+2ab+b^2)$ $(v)$ $a^4+a^2+1=(a^2-a+1)(a^2+a+1)$ $(vi)$ $(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b)(b+c)(c+a)+abc.$

Cuando tienes un polinomio con coeficiente enteros $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ y dos enteros $a,b$ entonces $a-b\mid P(a)-P(b)$.

Sea $ABC$ un triangulo, y sean $AD,BE$ y $CF$ tres cevianas que concurren. Sea $EF\cap BC=P$ entonces $(PD;BC)=-1$.

Al tener un problema de modulos, especialmente uno con productos o con exponentes. Puede ser mas util usar raices primitivas para replantear el problema. Si un problema pide encontrar cuando $p|a^3+1$, usando una raiz primitiva $r$ podemos replantear como $a=r^k$ y entonces $p|r^3k+1$ y sabemos que $r^3k=1$ si y solo si $3k\equiv \frac{p-1}{2} \text{ mod } p-1$. Por lo que $3\mid p-1$ y $k=\frac{p-1}{6}, \frac{p-1}{2}, \frac{5(p-1)}{6}$, o $a\equiv -1 \text{ mod } p$.

Dado un cuadrilatero ciclico $ABCD$ inscrito en un circulo en $\omega$, decimos que $ABCD$ es un cuadrilatero harmonico si alguna de las condiciones siguientes se cumple: 1) Para todo punto $P$ en $\omega$ tenemos que $P(AC;BD)=-1$ es un haz armonico. 2) Si $T$ es la interseccion de las tangentes a $\omega$ por $A$ y $C$ entonces $T,B,D$ son colineales.