Dado un conjunto finito $X$ , dos enteros positivos $n,k$ , y una función $f:X\to X$ . Define $f^{(1)}(x)=f(x),f^{(i+1)}(x)=f^{(i)}(x)$ , $i=1,2,3,\ldots$ . Se sabe que para cualquier $x\in X$ , $f^{(n)}(x)=x$ . Define $m_j$ el número de $x\in X$ que satisfacen $f^{(j)}(x)=x$ . Demuestra que: (1 ) $\frac{1}n \sum_{j=1}^n m_j\sin {\frac{2kj\pi}{n}}=0$ (2 ) $\frac{1}n \sum_{j=1}^n m_j\cos {\frac{2kj\pi}{n}}$ es un entero no negativo.

Sea $0=x_0<x_1<\cdots<x_n=1$ .Encuentra el número real más grande $ C$ tal que para cualquier entero positivo $ n $ , tenemos $$\sum_{k=1}^n x^2_k (x_k - x_{k-1})>C$$

Divide $\frac1{2002},\frac1{2003},\frac1{2004},\ldots,\frac{1}{2017}$ en dos grupos. Define $A$ la suma de los números en el primer grupo, y $B$ la suma de los números en el segundo grupo. Encuentra la partición tal que $|A-B|$ alcance su mínimo y explica la razón.

Dado $a_i\ge 0,x_i\in\mathbb{R},(i=1,2,\ldots,n)$ . Demuestra que $$((1-\sum_{i=1}^n a_i\cos x_i)^2+(1-\sum_{i=1}^n a_i\sin x_i)^2)^2\ge 4(1-\sum_{i=1}^n a_i)^3$$

Dado el cuadrilátero $ABCD$ tal que $\angle BAD+2 \angle BCD=180 ^ \circ .$ Sea $E$ la intersección de $BD$ y la bisectriz interna de $\angle BAD$ . La bisectriz perpendicular de $AE$ interseca a $CB,CD$ en $X,Y,$ respectivamente. Demuestra que $A,C,X,Y$ son concíclicos.

(1) Encuentra todos los enteros positivos $n$ tal que para cualquier entero impar $a$ , tenemos $4\mid a^n-1$ (2) Encuentra todos los enteros positivos $n$ tal que para cualquier entero impar $a$ , tenemos $2^{2017}\mid a^n-1$

Suponga que $ a$ , $ b$ , $ c$ son números reales positivos, pruebe que \[ 1 < \frac {a}{\sqrt {a^{2} + b^{2}}} + \frac {b}{\sqrt {b^{2} + c^{2}}} + \frac {c}{\sqrt {c^{2} + a^{2}}}\leq\frac {3\sqrt {2}}{2} \]

Sea $\ell$ el perímetro de un triángulo acutángulo $ABC$ que no es un triángulo equilátero. Sea $P$ un punto variable dentro del triángulo $ABC$ , y sean $D,E,F$ las proyecciones de $P$ en los lados $BC,CA,AB$ respectivamente. Demuestre que \[ 2(AF+BD+CE ) = \ell \] si y sólo si $P$ es colineal con el incentro y el circuncentro del triángulo $ABC$ .

Todas las cuadrículas de un tablero de ajedrez de $m\times n$ ( $m,n\geq 3$ ) , están coloreadas ya sea con rojo o con azul. Dos cuadrículas adyacentes (que tienen un lado en común) se llaman un 'buen par' si tienen diferentes colores. Suponga que hay $S$ 'buenos pares'. Explique cómo determinar si $S$ es impar o par. ¿Está prescrito por algunas cuadrículas de colores específicos? Justifica tus respuestas.

La secuencia $\{a_n\}_{n}$ satisface las relaciones $a_1=a_2=1$ y para todos los enteros positivos $n$ , \[ a_{n+2} = \frac 1{a_{n+1}} + a_n . \] Encuentra $a_{2004}$ .