Determine la cantidad de números reales $a$ , tal que para cada $a$ , la ecuación $x^3=ax+a+1$ tiene una raíz $x_0$ que satisface las siguientes condiciones: (a) $x_0$ es un entero par; (b) $|x_0|<1000$ .

Antes del torneo de la Copa Mundial, el entrenador de fútbol del país $F$ permitirá que siete jugadores, $A_1, A_2, \ldots, A_7$, participen en tres partidos de entrenamiento (90 minutos cada uno) para evaluarlos. Suponga que, en cualquier momento durante un partido, uno y solo uno de ellos entra al campo, y el tiempo total (que se mide en minutos) en el campo para cada uno de $A_1, A_2, A_3$ y $A_4$ es divisible por $7$ y el tiempo total para cada uno de $A_5, A_6$ y $A_7$ es divisible por $13$. Si no hay restricciones sobre el número de sustituciones de jugadores durante cada partido, entonces, ¿cuántos casos posibles hay dentro del tiempo total para cada jugador en el campo?

Hay números reales $a,b$ y $c$ y un número positivo $\lambda$ tal que $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ tiene tres raíces reales $x_1, x_2$ y $x_3$ que satisfacen $(1) x_2-x_1=\lambda$ $(2) x_3>\frac{1}{2}(x_1+x_2)$. Encuentre el valor máximo de $\frac{2a^3+27c-9ab}{\lambda^3}$.

En $\triangle ABC$, $\angle A = 60$, $AB>AC$, el punto $O$ es el circuncentro y $H$ es el punto de intersección de dos altitudes $BE$ y $CF$. Los puntos $M$ y $N$ están en los segmentos de línea $BH$ y $HF$ respectivamente, y satisfacen $BM=CN$. Determine el valor de $\frac{MH+NH}{OH}$.

Hay 100 puntos en un círculo que están a punto de ser coloreados en dos colores: rojo o azul. Encuentra el número más grande $k$ tal que no importa cómo seleccione y coloree $k$ puntos, siempre puedes colorear los $100-k$ puntos restantes de tal manera que puedas conectar 50 pares de puntos del mismo color con líneas de manera que no se crucen dos líneas.

Sean $\{a_n\}$ , $\{b_n\}$ secuencias de números reales positivos que satisfacen $$a_n=\sqrt{\frac{1}{100} \sum\limits_{j=1}^{100} b_{n-j}^2}$$ y $$b_n=\sqrt{\frac{1}{100} \sum\limits_{j=1}^{100} a_{n-j}^2}$$ Para todo $n\ge 101$ . Demuestra que existe $m\in \mathbb{N}$ tal que $|a_m-b_m|<0.001$

Encuentra una condición necesaria y suficiente de $a,b,n\in\mathbb{N^*}$ tal que para $S=\{a+bt\mid t=0,1,2,\cdots,n-1\}$ , existe un mapeo biunívoco $f: S\to S$ tal que para todo $x\in S$ , $\gcd(x,f(x))=1$ .

En el triángulo ABC, X, Y están en la bisectriz del ángulo ∠BAC y ∠ABX=∠ACY. BX intersecta a CY en P y los círculos (BYP) y (CXP) se intersectan en Q diferente de P. Demuestra que A, P, Q están en una línea.

Sea $n$ un entero positivo fijo. Sea $$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{bmatrix}\quad \text{y} \quad B=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots &b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots &b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots &b_{nn} \end{bmatrix}\quad$$ sean dos tablas de $n\times n$ tales que $\{a_{ij}|1\le i,j\le n\}=\{b_{ij}|1\le i,j\le n\}=\{k\in N^*|1\le k\le n^2\}$ . Se puede realizar la siguiente operación en la tabla $A$ : Elija $2$ números en la misma fila o en la misma columna de $A$ , intercambie estos $2$ números y deje los $n^2-2$ números restantes sin cambios. Esta operación se llama transposición de $A$ . Encuentra, con prueba, el entero positivo más pequeño $m$ tal que para cualquier tabla $A$ y $B$ , se pueden realizar como máximo $m$ transposiciones tales que la tabla resultante de $A$ es $B$ .

Este es un problema muy clásico. Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncírculo $\omega_1$ . Las líneas $AC$ y $BD$ se intersecan en el punto $E$ , y las líneas $AD$ , $BC$ se intersecan en el punto $F$ . El círculo $\omega_2$ es tangente a los segmentos $EB,EC$ en los puntos $M,N$ respectivamente, y se interseca con el círculo $\omega_1$ en los puntos $Q,R$ . Las líneas $BC,AD$ intersecan la línea $MN$ en $S,T$ respectivamente. Demuestra que $Q,R,S,T$ son concíclicos.