Encuentra todos los enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: los $k$ divisores positivos de $n$ tienen una permutación $(d_1, d_2, \ldots, d_k)$ tal que para cada $i = 1, 2, \ldots, k$, el número $d_1 + d_2 + \ldots + d_i$ es un cuadrado perfecto.

Sea $n \geq 100$ un número entero. Los números $n, n + 1, \ldots, 2n$ están escritos en $n + 1$ cartas, un número por carta. Las cartas se mezclan y se dividen en dos pilas. Demuestra que una de las pilas contiene dos cartas tal que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.

Determina todos los enteros $n \geq 1$ para los cuales existe un par de enteros positivos $(a, b)$ tal que ningún cubo de un primo divide a $a^2 + b + 3$ y $$\frac{ab + 3b +8 }{ a^2+b+3 } = n.$$

Sea $\omega$ el circuncirculo de un triángulo $ABC$, y sea $\Omega_A$ su excírculo que es tangente al segmento $BC$. Los puntos $X$ e $Y$ son los puntos de intersección de $\omega$ y $\Omega_A$. Las proyecciones de $A$ a las líneas tangentes a $\Omega_A$ en $X$ e $Y$ son $P$ y $Q$, respectivamente. La línea tangente en $P$ al circuncirculo del triángulo $APX$ se interseca con la línea tangente en $Q$ al circuncirculo del triángulo $AQY$ en un punto $R$. Demuestra que $AR \perp BC$.

Se elige un punto $D$ dentro de un triángulo acutangulo $ABC$ con $AB > AC$, de manera que $\angle BAD = \angle DAC$. Se construye un punto $E$ en el segmento $AC$ tal que $\angle ADE = \angle DCB$. De manera similar, se construye un punto $F$ en el segmento $AB$ tal que $\angle ADF = \angle DBC$. Se elige un punto $X$ en la línea $AC$ tal que $CX = BX$. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ADC$ y $DXE$. Demuestra que las rectas $BC$, $EF$ y $O_1O_2$ son concurrentes.

Determina todos los enteros $n \geq 3$ que satisfacen la siguiente propiedad: cualquier $n$-agono convexo cuyos lados tienen longitud 1 contiene un triángulo equilátero de lado 1. (Se asume que cada polígono contiene su frontera.)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyos lados tienen todos longitudes diferentes. Sea $O$ el circuncentro de $ABCD$. Las bisectrices internas de $\angle ABC$ y $\angle ADC$ intersecan a $AC$ en $B1$ y $D1$, respectivamente. Sea $O_B$ el centro del círculo que pasa por $B$ y es tangente a $AC$ en $D1$. De manera similar, sea $O_D$ el centro del círculo que pasa por $D$ y es tangente a $AC$ en $B1$. Supongamos que $BD1 \parallel DB1$. Demuestra que $O$ está en la recta $O_BO_D$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia $\Omega$. La tangente a $\Omega$ en $D$ interseca a los rayos $BA$ y $BC$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Se elige un punto $T$ dentro del triángulo $ABC$ tal que $TE \parallel CD$ y $TF \parallel AD$. Sea $K\neq D$ un punto en el segmento $DF$ tal que $TD = TK$. Demuestra que las rectas $AC$, $DT$ y $BK$ se intersecan en un punto.

Versión 1. Sea $n$ un entero positivo fijo, y sea $\mathcal{S}$ el conjunto de puntos $(x, y)$ en el plano cartesiano tales que ambas coordenadas $x$ e $y$ sean enteros no negativos menores que $2n$ (por lo tanto, $|\mathcal{S}| = 4n^2$). Supongamos que $\mathcal{F}$ es un conjunto que consiste en $n^2$ cuadriláteros de manera que todos sus vértices están en $\mathcal{S}$, y cada punto en $\mathcal{S}$ es un vértice de exactamente uno de los cuadriláteros en $\mathcal{F}$. Determina la suma más grande posible de las áreas de todos los cuadriláteros en $F$. Versión 2. En lugar de que $\mathcal{F}$ consista de cuadrilateros, consiste de poligonos de cualquier numero de lados. Determina la maxima suma de los poligonos en $\mathcal{F}$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo circunscrito alrededor de un círculo con centro $I$. Sea $\omega$ el circuncírculo del triángulo $ACI$. Las prolongaciones de $BA$ y $BC$ más allá de $A$ y $C$ intersecan $\omega$ en $X$ y $Z$, respectivamente. Las prolongaciones de $AD$ y $CD$ más allá de $D$ intersecan $\omega$ en $Y$ y $T$, respectivamente. Demuestra que los perímetros de los cuadriláteros (posiblemente auto-intersecantes) $ADTX$ y $CDYZ$ son iguales.