Teorema de la raiz racional
Consideremos el polinomio $$P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$$ donde $a_0,a_1,\dots,a_n$ son enteros. Supongamos que $p,q$ son enteros tales que $mcd(p,q)=1$ y que $\frac{p}{q}$ es una raíz de $P(x)$, entonces $p$ divide a $a_0$ y $q$ divide a $a_n$.
raiz racional polinomios
Consideremos el polinomio $$P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$$ donde $a_0,a_1,\dots,a_n$ son enteros. Supongamos que $p,q$ son enteros tales que $mcd(p,q)=1$ y que $\frac{p}{q}$ es una raíz de $P(x)$, entonces $p$ divide a $a_0$ y $q$ divide a $a_n$.
Teorema del Valor Intermedio
Si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una funcion continua (por ejemplo un polinomio) y $f(a)<y<f(b)$ entonces hay un valor $a<x<b$ tal que $f(x)=y$. \nEsto es particularmente util cuando lo usamos con $y=0$ y $f(a)<0<f(b)$ entonces nos dice que hay un zero de la funcion entre $a$ y $b$.
Interpolacion de Lagrange
Dados $n$ puntos $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\cdots (x_n,y_n)$ con $x_i\neq x_j,$ hay un unico polinomio de grado menor a $n$ que cumple $$P(x_i)=y_i.$$\nEl polinomio se puede escribir explicitamente como $$P(x)=\sum_{i=1}^n y_i \prod_{j\neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}.$$
Teorema de Bezout
Un polinomio $P(x)$ es divisible entre $(x-a)$ si y solo si $P(a)=0$.
Problemas de AIME 1988 Problema 1
Encuentra todas las perejas de enteros $(a,b)$ tales que el polinomio $$ax^{17}+bx^{16}+1$$ es divisible por $x^2-x-1$.
Problemas de AIME 1986 Problema 1
El polinomio $$1-x+x^2-x^3+\cdots+x^{16}-x^{17}$$ Puede escribirse de la forma $$a_0+a_1y+a_2y^2+\cdots+a_{16}y^{16}+a_{17}y^{17}$$ Donde $y=x+1$ y los $a_i$'s son constantes. Determina el valor de $a_2$.
Principio de casillas versión infinita.
Si se tiene una infinidad de objetos que debe ser repartida en una cantidad finita de casillas, entonces al menos una casilla contiene una infinidad de objetos.
AMC 10B 2022 Problema 21
Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes racionales tal que cuando $P(x)$ es dividido por el polinomio $x^2 + x + 1$, el residuo es $x+2$, y cuando $P(x)$ es dividido por el polinomio $x^2+1$, el residuo es $2x+1$. Existe un polinomio único de menor grado con estas dos propiedades. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los coeficientes de ese polinomio?
AMC 10A 2017 Problema 24
Los números reales $a,b,c$ cumplen que el polinomio $$g(x)=x^3+ax^2+x+10$$ tiene tres raíces distintas, y cada raíz del polinomio $g(x)$ es también una raíz del polinomio $$f(x)=x^4+x^3+bx^2+100x+c$$ Determina el valor de $f(1)$.