Dado un tríangulo $ABC$, donde $a,b,c$ son las medidas de los lados opuestos a los ángulos $A$, $B$ y $C$ respectivamente, entonces $$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\space C$$$$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot cos\space B$$$$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos\space A$$

Sea $\triangle ABC$ un triángulo isósceles con $BC = AC$ y $\angle ACB = 40^{\circ}$. Sea $O$ el círculo de diametro $\overline{BC}$. Sean $D$ y $E$ los otros puntos de intersección del círculo $O$ con los lados $\overline{AC}$ y $\overline{AB}$, respectivamente. Sea $F$ la intersección de las diagonales del cuadrilátero $BCDE$. ¿Cuál es la medida del ángulo $\angle BFC$?

En el triángulo $\bigtriangleup ABC$, $D$ es un punto en el lado $\overline{AC}$ tal que $BD=DC$ y $\angle BCD$ mide $70^\circ$. ¿Cuál es la medida del ángulo $\angle ADB$?

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB=2\cdot AC$. Sean $D$ y $E$ en $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$ respectivamente tal que $\angle BAE = \angle ACD$. Sea $F$ la intersección de los segmentos $AE$ y $CD$. Suponga que $\triangle CFE$ es equilatero ¿Cuánto vale $\angle ACB$?

Sea $p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ un polinomio con coeficientes enteros tal que $a_0$ es primo y $$|a_0|>|a_1|+\cdots+|a_n|.$$ Demuestra que $p$ es irreducible.

Demuestra que $x^n-x-1$ es irreducible para todo entero $n\geq 2$.

Sea $p(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Sera que siempre existe un entero $k$ tal que $p(x)-k$ es irreducible?

Sea $$S_k(n)=\sum_{i=1}^n i^k$$ la suma de las primeras $n$ potencias $k$. Demuestra que $S_k$ es un polinomio de grado $k+1$ con coeficiente principal $\frac{1}{k+1}$. \nBonus: demuestra que $x^2+x$ divide al polinomio.

Sea $z=a+bi$ un numero complejo. Su conjugado es el numero $\bar{z}=a-bi$. Los conjugados cumplen las siguientes propiedades: 1. Es aditivo $\overline{z+z'}=\bar{z}+\bar{z'}$. 2. Es multiplicativo $\overline{zz'}=\bar{z}\bar{z'}$. 3. $z+\bar{z}=2a$ la suma de conjugados es 2 veces la parte real. 4. $z\bar{z}=|z|^2=a^2+b^2$ el producto de conjugados es la norma cuadrada de $z$. 5. Si $P$ es un polinomio con coeficientes $Reales$ entonces $$P(z)=\overline{P(\bar{z})}$$ en particular si $z$ es una raiz entonces $\bar{z}$ tambien lo es.

Cuando un polinomio $P$ es de grado a lo mucho $n$ y tiene $n+1$ raices entonces $P$ es el polinomio $0$, $P\equiv 0$.\nDicho de otra forma, $$P(x)=0 \qquad \forall x$$