Sean $a,b$ y $n$ enteros, con $n\neq 0$. Diremos que $a$ y $b$ son congruentes módulo $n$ si ambos dejan el mismo residuo si los dividimos entre $n$, o equivalentemente, si $n$ divide a $a-b$. Denotamos esto por $a\equiv b\pmod n$.

El incírculo $\omega$ del triángulo $ABC$ es tangente a $\overline{BC}$ en $X$. Sea $Y \neq X$ la otra intersección de $\overline{AX}$ con $\omega$. Los puntos $P$ y $Q$ están en $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$, respectivamente, de modo que $\overline{PQ}$ es tangente a $\omega$ en $Y$. Supongamos que $AP = 3$, $PB = 4$ y $AC = 8$. Determina la longitud del segmento $AQ$.

En el rectángulo $ABCD$, $\overline{AB}=20$ y $\overline{BC}=10$. Sea $E$ un punto en $\overline{CD}$ tal que $\angle CBE=15^\circ$. ¿Cuánto mide $\overline{AE}$?

En el triángulo $\triangle{ABC}$, $AB=10$, $\angle{A}=30^\circ$ y $\angle{C}=45^\circ$. Sean $H, D$ y $M$ puntos en la recta $BC$ tales que $AH\perp{BC}$, $\angle{BAD}=\angle{CAD}$ y $BM=CM$. Sea $N$ el punto medio del segmento $HM$, y sea $P$ un punto en la semirrecta $AD$ tal que $PN\perp{BC}$. Determina la longitud del segmento $AP$.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Se extiende el lado $\overline{AB}$ más allá de $B$ hasta un punto $B'$ de manera que $BB'=3 \cdot AB$. De manera similar, se extiende el lado $\overline{BC}$ más allá de $C$ hasta un punto $C'$ de manera que $CC'=3 \cdot BC$, y se extiende el lado $\overline{CA}$ más allá de $A$ hasta un punto $A'$ de manera que $AA'=3 \cdot CA$. ¿Cuál es la razón entre el área del triángulo $\triangle A'B'C'$ y el área del triángulo $\triangle ABC$?

$$sen(x + y) = sen (x) \cos (y) + \cos (x) sen (y)$$$$\cos(x + y) = \cos (x) \cos (y) - sen (x) sen (y)$$$$\tan(x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)}$$

$$sen^2x + \cos^2x = 1$$$$1 + \cot^2x = \csc^2x$$$$\tan^2x + 1 = \sec^2x$$

Las longitudes de los lados de un triángulo son enteros consecutivos, y el ángulo más grande es el doble del ángulo más pequeño. Determina el coseno del ángulo más pequeño.

En el triángulo $\triangle ABC$, $AB = AC = 10$ y $BC = 12$. El punto $D$ se encuentra estrictamente entre $A$ y $B$ en $\overline{AB}$, y el punto $E$ se encuentra estrictamente entre $A$ y $C$ en $\overline{AC}$ de manera que $AD = DE = EC$. Determina la longitud del segmento $AD$.

Dado un tríangulo $ABC$, donde $a,b,c$ son las medidas de los lados opuestos a los ángulos $A$, $B$ y $C$ respectivamente, entonces$$\frac{a}{sen \space A}=\frac{b}{sen\space B}=\frac{c}{sen\space C}$$