El incírculo $\omega$ del triángulo $ABC$ es tangente a $\overline{BC}$ en $X$. Sea $Y \neq X$ la otra intersección de $\overline{AX}$ con $\omega$. Los puntos $P$ y $Q$ están en $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$, respectivamente, de modo que $\overline{PQ}$ es tangente a $\omega$ en $Y$. Supongamos que $AP = 3$, $PB = 4$ y $AC = 8$. Determina la longitud del segmento $AQ$.