En el triángulo $\triangle ABC$, $AB = AC = 10$ y $BC = 12$. El punto $D$ se encuentra estrictamente entre $A$ y $B$ en $\overline{AB}$, y el punto $E$ se encuentra estrictamente entre $A$ y $C$ en $\overline{AC}$ de manera que $AD = DE = EC$. Determina la longitud del segmento $AD$.