En el triángulo $\triangle{ABC}$, $AB=10$, $\angle{A}=30^\circ$ y $\angle{C}=45^\circ$. Sean $H, D$ y $M$ puntos en la recta $BC$ tales que $AH\perp{BC}$, $\angle{BAD}=\angle{CAD}$ y $BM=CM$. Sea $N$ el punto medio del segmento $HM$, y sea $P$ un punto en la semirrecta $AD$ tal que $PN\perp{BC}$. Determina la longitud del segmento $AP$.