Sean $a,b,a_2,\ldots,a_{n-2}$ números reales con $ab\ne0$ tales que todas las raíces de la ecuación $$ax^n-ax^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-2}x^2-n^2bx+b=0$$ son positivas y reales. Demuestre que estas raíces son todas iguales.

Sea $0<x_i<1$ y $x_i+y_i=1$ para $i=1,2,\ldots,n$ . Demuestre que $$(1-x_1x_2\cdots x_n)^m+(1-y_1^m)(1-y_2^m)\cdots(1-y_n^m)>1$$ para cualesquiera números naturales $m$ y $n$ .

Sea dada una pirámide $SABCD$ cuya base $ABCD$ es un paralelogramo. Sea $N$ el punto medio de $BC$ . Un plano $\lambda$ interseca las rectas $SC,SA,AB$ en los puntos $P,Q,R$ respectivamente, tales que $\overline{CP}/\overline{CS}=\overline{SQ}/\overline{SA}=\overline{AR}/\overline{AB}$ . Un punto $M$ sobre la recta $SD$ es tal que la recta $MN$ es paralela a $\lambda$ . Demuestre que el lugar geométrico de los puntos $M$ , cuando $\lambda$ toma todas las posiciones posibles, es un segmento de longitud $\frac{\sqrt5}2SD$ .

Determine todos los números naturales $n$ para los cuales existe una permutación $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ de los números $0,1,\ldots,n-1$ tal que, si $b_i$ es el resto de $a_1a_2\cdots a_i$ al dividirlo por $n$ para $i=1,\ldots,n$ , entonces $(b_1,b_2,\ldots,b_n)$ es también una permutación de $0,1,\ldots,n-1$ .

Sean $b_1\ge b_2\ge\ldots\ge b_n$ números no negativos, y sea $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ una permutación arbitraria de estos números. Demuestre que para todo $t\ge0$ , $$(a_1a_2+t)(a_3a_4+t)\cdots(a_{2n-1}a_{2n}+t)\le(b_1b_2+t)(b_3b_4+t)\cdots(b_{2n-1}b_{2n}+t).$$

Se da una pirámide triangular regular $ABCD$ con lado de la base $AB=a$ y arista lateral $AD=b$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $CD$ respectivamente. Una recta $\alpha$ que pasa por $MN$ interseca las aristas $AD$ y $BC$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. (a) Demuestre que $AP/AD=BQ/BC$ . (b) Halle la razón $AP/AD$ que minimiza el área de $MQNP$ .

Halle el menor lado posible de un cuadrado en el que se pueden colocar cinco circunferencias de radio $1$ , de modo que no haya dos de ellas con un punto interior común.

¿Pueden los polinomios $x^{5}-x-1$ y $x^{2}+ax+b$ , donde $a,b\in Q$ , tener raíces complejas comunes?

Sean $a,b,c>0$ que satisfacen que para todos los enteros $n$ , tenemos $$\lfloor an\rfloor+\lfloor bn\rfloor=\lfloor cn\rfloor$$ Demuestre que al menos uno de $a,b,c$ es un entero.

Halle todos los pares de números naturales $(n,k)$ para los cuales $(n+1)^{k}-1 = n!$ . TaiPan~SP!