2 Sea $n$ un entero con $n \geq 2$ y sean $x_1, x_2, \cdots , x_n$ números reales arbitrarios; halle el valor máximo de $$2\sum_{1\leq i<j \leq n}\left \lfloor x_ix_j \right \rfloor-\left ( n-1 \right )\sum_{i=1}^{n}\left \lfloor x_i^2 \right \rfloor $$

Cuando Pablo cumple $15$, hace una fiesta e invita a $43$ amigos. Les presenta un pastel en forma de polígono regular de $15$ lados y sobre él $15$ velas. Las velas están colocadas de modo que entre velas y vértices nunca haya tres alineados (cualesquiera tres velas no están alineadas, ni tampoco dos velas con un vértice del polígono, ni dos vértices del polígono con una vela). Luego Pablo divide el pastel en trozos triangulares, mediante cortes que unen velas entre sí o velas y vértices, pero que tampoco se cruzan con otros ya hechos. ¿Por qué, al hacer esto, Pablo pudo repartir un trozo a cada uno de sus invitados pero se quedó sin comer?

2 Los números reales $a, b, c, d$ son tales que $a\geq b\geq c\geq d>0$ y $a+b+c+d=1$ . Demuestre que \[(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d<1\] Propuesto por Stijn Cambie, Belgium

A4 Los números reales $a, b, c, d$ son tales que $a\geq b\geq c\geq d>0$ y $a+b+c+d=1$ . Demuestre que \[(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d<1\] Propuesto por Stijn Cambie, Belgium

G6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ . Una circunferencia $\Gamma$ es tangente internamente a $\omega$ en $A$ y también tangente a $BC$ en $D$ . Sean $P$ y $Q$ los puntos donde $AB$ y $AC$ cortan a $\Gamma$ , respectivamente. Sean $M$ y $N$ puntos de la recta $BC$ tales que $B$ es el punto medio de $DM$ y $C$ es el punto medio de $DN$ . Las rectas $MP$ y $NQ$ se cortan en $K$ y cortan de nuevo a $\Gamma$ en $I$ y $J$ respectivamente. El rayo $KA$ corta de nuevo a la circunferencia circunscrita del triángulo $IJK$ en $X\neq K$ . Demuestre que $\angle BXP = \angle CXQ$ . Kian Moshiri, Reino Unido

G7 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno con ortocentro $H$ . Sea $\ell_a$ la recta que pasa por el reflejo de $B$ con respecto a $CH$ y por el reflejo de $C$ con respecto a $BH$ . Las rectas $\ell_b$ y $\ell_c$ se definen de manera similar. Suponga que las rectas $\ell_a$ , $\ell_b$ y $\ell_c$ determinan un triángulo $\mathcal T$ . Demuestre que el ortocentro de $\mathcal T$ , el circuncentro de $\mathcal T$ y $H$ son colineales. Fedir Yudin, Ucrania

G8 Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $A_1,B_1,C_1$ puntos interiores de $ABC$ tales que $BA_1=A_1C$ , $CB_1=B_1A$ , $AC_1=C_1B$ , y $$\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ$$ Sean $A_2,$ el punto donde $BC_1$ y $CB_1$ se cortan, $B_2,$ el punto donde $CA_1$ y $AC_1$ se cortan, y $C_2.$ el punto donde $AB_1$ y $BA_1$ se cortan. Demuestre que si el triángulo $A_1B_1C_1$ es escaleno, entonces las tres circunferencias circunscritas de los triángulos $AA_1A_2, BB_1B_2$ y $CC_1C_2$ pasan todas por dos puntos comunes. (Nota: un triángulo escaleno es aquel en el que no hay dos lados de igual longitud.) Propuesto por Ankan Bhattacharya, EE. UU.

N1 Determine todos los enteros compuestos $n>1$ que satisfacen la siguiente propiedad: si $d_1$ , $d_2$ , $\ldots$ , $d_k$ son todos los divisores positivos de $n$ con $1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_k = n$ , entonces $d_i$ divide a $d_{i+1} + d_{i+2}$ para todo $1 \leq i \leq k - 2$ .

N2 Determine todos los pares ordenados $(a,p)$ de enteros positivos, con $p$ primo, tales que $p^a+a^4$ es un cuadrado perfecto. Propuesto por Tahjib Hossain Khan, Bangladés

10 Un poliedro convexo tiene como caras 12 cuadrados, 8 hexágonos regulares y 6 octágonos regulares. En cada vértice del poliedro se encuentran un cuadrado, un hexágono y un octágono. ¿Cuántos segmentos que unen vértices del poliedro están en el interior del poliedro en lugar de estar a lo largo de una arista o de una cara?