Sea $k$ un entero $\geq 3$. La secuencia $\{a_n\}$ satisface que $a_k = 2k$ y para todo $n > k$, tenemos\n\[a_n = \n\begin{cases} a_{n-1}+1 & \text{si } (a_{n-1},n) = 1 \\ 2n & \text{si } (a_{n-1},n) > 1\n\end{cases}\n\]\nDemuestra que hay infinitos primos en la secuencia $\{a_n - a_{n-1}\}$.

Dos círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se intersecan en $A$ y $B$. Una línea que pasa por $B$ se interseca con $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ nuevamente en $C$ y $D$ respectivamente. Otra línea que pasa por $B$ se interseca con $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ nuevamente en $E$ y $F$ respectivamente. La línea $CF$ se interseca con $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ nuevamente en $P$ y $Q$ respectivamente. $M$ y $N$ son los puntos medios del arco $PB$ y el arco $QB$ respectivamente. Demuestra que si $CD = EF$, entonces $C,F,M,N$ son concíclicos.

Sean \( A \) y \( B \) enteros positivos, y sea \( S \) un conjunto de enteros positivos con las siguientes propiedades: (1) Para cada entero no negativo $k$ , $\text{ } A^k \in S$ ; (2) Si un entero positivo $ n \in S$ , entonces cada divisor positivo de $ n$ está en $S$ ; (3) Si $m ,n \in S$ y $m,n$ son coprimos, entonces $mn \in S$ ; (4) Si $n \in S$ , entonces $An + B \in S$ . Demuestre que todos los enteros positivos coprimos con \( B \) están en \( S \) .

Dado un entero positivo $n$ . Considere una cuadrícula de $3 \times n$, un conjunto $S$ de cuadrados se llama conectado si para cualquier punto $A \neq B$ en $S$ , existe un entero $l \ge 2$ y $l$ cuadrados $A=C_1,C_2,\dots ,C_l=B$ en $S$ tal que $C_i$ y $C_{i+1}$ comparten un lado común ( $i=1,2,\dots,l-1$ ) . Encuentre el entero más grande $K$ que satisfaga que, sin embargo, los cuadrados se coloreen de negro o blanco, siempre existe un conjunto conectado $S$ para el cual el valor absoluto de la diferencia entre el número de cuadrados negros y blancos es al menos $K$ .

\(ABCD\) es un cuadrilátero convexo, \(AC\) biseca el ángulo \(\angle BAD\) . Los puntos \(E\) y \(F\) están en los lados \(BC\) y \(CD\) respectivamente tales que \(EF \parallel BD\) . Extienda \(FA\) y \(EA\) a los puntos \(P\) y \(Q\) respectivamente, tales que el círculo \(\omega_1\) que pasa por los puntos \(A\) , \(B\) , \(P\) y el círculo \(\omega_2\) que pasa por los puntos \(A\) , \(D\) , \(Q\) son ambos tangentes a la línea \(AC\) . Demuestre que los puntos \(B\) , \(P\) , \(Q\) , \(D\) son concíclicos.

Sea \( r \) un entero positivo dado, encuentre el número real más grande \( C \) tal que exista una secuencia geométrica $\{ a_n \}_{n\ge 1}$ con razón común \( r \) que satisfaga $$ \| a_n \| \ge C$ para todos los enteros positivos \( n \) . Aquí, $\| x \|$ denota la distancia del número real \( x \) al entero más cercano.

Hay $n$ personas, y dado que cualesquiera $2$ de ellas se han contactado entre sí como máximo una vez. En cualquier grupo de $n-2$ de ellas, cualquier persona del grupo se ha contactado con otras personas en este grupo $3^k$ veces, donde $k$ es un entero no negativo. Determinar todos los valores posibles de $n.$

Definir la secuencia $a_1, a_2, \ldots$ y $b_1, b_2, \ldots$ como $a_0=1,a_1=4,a_2=49$ y para $n \geq 0$ $$\begin{cases} a_{n+1}=7a_n+6b_n-3, \\ b_{n+1}=8a_n+7b_n-4. \end{cases}$$ Demostrar que para cualquier entero no negativo $n,$ $a_n$ es un cuadrado perfecto.

En el triángulo acutángulo $ABC$, $E, F$ están en el lado $BC$, tal que $\angle BAE=\angle CAF$, y sean $M, N$ las proyecciones de $F$ sobre $AB, AC$, respectivamente. La línea $AE$ intersecta a $ \odot (ABC) $ en $D$ (diferente del punto $A$). Demostrar que $S_{AMDN}=S_{\triangle ABC}.$

Sean $P_i(x_i,y_i)\ (i=1,2,\cdots,2023)$ $2023$ puntos distintos en un plano equipado con un sistema de coordenadas rectangulares. Para $i\neq j$ , define $d(P_i,P_j) = |x_i - x_j| + |y_i - y_j|$ . Define $$\lambda = \frac{\max_{i\neq j}d(P_i,P_j)}{\min_{i\neq j}d(P_i,P_j)}$$ . Demuestra que $\lambda \geq 44$ y proporciona un ejemplo en el que se cumple la igualdad.