Sean $x,y,z$ números reales positivos tales que $\sqrt{a}=x(y-z)^2$ , $\sqrt{b}=y(z-x)^2$ y $\sqrt{c}=z(x-y)^2$. Demostrar que \[a^2+b^2+c^2 \geq 2(ab+bc+ca)\]

En el pentágono convexo $ABCDE$ sabemos que $AB=DE, BC=EA$ pero $AB \neq EA$. $B,C,D,E$ son concíclicos. Demostrar que $A,B,C,D$ son concíclicos si y sólo si $AC=AD$.

Encontrar todos los pares $(x,y)$ de enteros tales que $x^2-2xy+126y^2=2009$.

Un punto $(x,y)$ es un punto reticular si $x,y\in\Bbb Z$ . Sea $E=\{(x,y):x,y\in\Bbb Z\}$ . En el plano de coordenadas, $P$ y $Q$ son ambos conjuntos de puntos en y sobre el límite de un polígono convexo con vértices en puntos reticulares. Sea $T=P\cap Q$ . Demuestre que si $T\ne\emptyset$ y $T\cap E=\emptyset$ , entonces $T$ es una región cuadrilátera convexa no degenerada.

Sea $k\ge 2$ un entero y sean $a_1 ,a_2 ,\cdots ,a_n,b_1 ,b_2 ,\cdots ,b_n$ números reales no negativos. Demuestre que \[\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)+\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} b_i\right)^2\ge\prod_{i=1}^{n}(a_i^{2}+b_i^{2})^{\frac{1}{n}}.\]

Sea $p$ un número primo y $a, k$ enteros positivos tales que $p^a<k<2p^a$ . Demuestre que existe un entero positivo $n$ tal que \[n<p^{2a}, C_n^k\equiv n\equiv k\pmod {p^a}.\]

Sea $n\ge 2$ un entero. $a_1,a_2,\dotsc,a_n$ son enteros positivos elegidos arbitrariamente con $(a_1,a_2,\dotsc,a_n)=1$ . Sea $A=a_1+a_2+\dotsb+a_n$ y $(A,a_i)=d_i$ . Sea $(a_2,a_3,\dotsc,a_n)=D_1, (a_1,a_3,\dotsc,a_n)=D_2,\dotsc, (a_1,a_2,\dotsc,a_{n-1})=D_n$ . Encuentre el mínimo de $\prod\limits_{i=1}^n\dfrac{A-a_i}{d_iD_i}$

$101$ personas, sentadas en una mesa redonda en cualquier orden, tenían $1,2,... , 101$ cartas, respectivamente. Una transferencia es que alguien le dé una carta a una de las dos personas adyacentes a él. Encuentre el entero positivo más pequeño $k$ tal que siempre se pueda, a través de no más de $k$ transferencias, que cada persona tenga cartas del mismo número, independientemente del orden en que esté sentada.

La circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ tiene centro $O$. $P$ es el punto medio de $\widehat{BAC}$ y $QP$ es el diámetro. Sea $I$ el incentro del $\triangle ABC$ y sea $D$ la intersección de $PI$ y $BC$. La circunferencia circunscrita del $\triangle AID$ y la extensión de $PA$ se encuentran en $F$. El punto $E$ se encuentra en el segmento de línea $PD$ tal que $DE=DQ$ . Sean $R,r$ el radio del círculo inscrito y la circunferencia circunscrita del $\triangle ABC$ , respectivamente. Demuestre que si $\angle AEF=\angle APE$ , entonces $\sin^2\angle BAC=\dfrac{2r}R$

Sea $n>1$ un entero y sean $a_0,a_1,\ldots,a_n$ números reales no negativos. Defina $S_k=\sum_{i=0}^k \binom{k}{i}a_i$ para $k=0,1,\ldots,n$ . Demuestre que \[\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} S_k^2-\frac{1}{n^2}\left(\sum_{k=0}^{n} S_k\right)^2\le \frac{4}{45} (S_n-S_0)^2.\]