Determine todos los posibles enteros positivos $n,$ tal que $3^n+n^2+2019$ sea un cuadrado perfecto.

Sea $k>2$ un entero. Sea $a_0,a_1,...$ una secuencia de enteros tal que $a_0=0$, $a_{n+1}=ka_n-a_{n-1}$. Demuestre que para cualquier entero positivo $m$, $(2m)!|a_1a_2...a_{3m}$.

Sea $S=\{1,2,...,N\}$. $A_1,A_2,A_3,A_4\subseteq S$, cada uno con cardinalidad $500$. $\forall x,y\in S$, $\exists i\in\{1,2,3,4\}$, $x,y\in A_i$. Determine el valor máximo de $N$.

Sean $A,B,C,D,E$ puntos en un círculo $\omega$, que satisfacen $AB=BD$, $BC=CE$. $AC$ se encuentra con $BE$ en $P$. $Q$ está en $DE$ tal que $BE//AQ$. Suponga que $\odot(APQ)$ intersecta a $\omega$ nuevamente en $T$. $A'$ es la reflexión de $A$ con respecto a $BC$. Demuestre que $A'BPT$ se encuentra en el mismo círculo.

Sean $a_1,a_2,...,a_9$ números reales no negativos con suma $1$. Define $S$ y $T$ como sigue: $$S=\min\{a_1,a_2\}+2\min\{a_2,a_3\}+...+9\min\{a_9,a_1\}$$ $$T=\max\{a_1,a_2\}+2\max\{a_2,a_3\}+...+9\max\{a_9,a_1\}$$ Cuando $S$ alcanza su máximo, encuentra todos los valores posibles de $T$.

En un gráfico de ${8}$ × ${8}$ cuadrados, excavamos $n$ cuadrados, entonces no podemos recortar un gráfico de 'T' con forma de 5 cuadrados de los cuadrados restantes. Entonces encontrar el valor mínimo de $n$.

Sean $x,y,z\geq0$ números reales tales que $x+y+z=1$. Definir $f(x,y,z)$ de esta manera : \[f(x,y,z)=\frac{x(2y-z)}{1+x+3y}+\frac{y(2z-x)}{1+y+3z}+\frac{z(2x-y)}{1+z+3x}\] Encontrar el valor mínimo y el valor máximo de $f(x,y,z)$.

Sean $\odot O$ , $\odot I$ los circuncírculos y los círculos inscritos del triángulo $ABC$ . Demostrar que: Desde cada punto $D$ en $\odot O$, podemos construir un triángulo $DEF$ tal que $ABC$ y $DEF$ tengan el mismo circuncírculo y círculos inscritos.

Sea $X=(x_1,x_2,......,x_9)$ una permutación del conjunto $\{1,2,\ldots,9\}$ y sea $A$ el conjunto de todas las $X$. Para cualquier $X \in A$ , denotemos $f(X)=x_1+2x_2+\cdots+9x_9$ y $ M=\{f(X)|X \in A \}$. Encontrar $|M|$. ( $|S|$ denota el número de miembros del conjunto $S$ . )

Dados 12 puntos rojos en un círculo, encontrar el valor mínimo de $n$ tal que existan $n$ triángulos cuyos vértices son los puntos rojos. Satisface: cada cuerda cuyos puntos son los puntos rojos es el borde de uno de los $n$ triángulos.