$101$ personas, sentadas en una mesa redonda en cualquier orden, tenían $1,2,... , 101$ cartas, respectivamente. Una transferencia es que alguien le dé una carta a una de las dos personas adyacentes a él. Encuentre el entero positivo más pequeño $k$ tal que siempre se pueda, a través de no más de $k$ transferencias, que cada persona tenga cartas del mismo número, independientemente del orden en que esté sentada.