Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico, con diagonales $AC,BD$ perpendiculares entre sí. Sea el punto $F$ en el lado $BC$, la línea paralela $EF$ a $AC$ intersecta a $AB$ en el punto $E$, la línea $FG$ paralela a $BD$ intersecta a $CD$ en $G$. Sea la proyección de $E$ sobre $CD$ como $P$, la proyección de $F$ sobre $DA$ como $Q$, la proyección de $G$ sobre $AB$ como $R$. Pruebe que $QF$ biseca $\angle PQR$.

Para un torneo con $8$ vértices, si desde cualquier vértice es imposible seguir una ruta para regresar a sí mismo, llamamos al grafo un buen grafo. De lo contrario, lo llamamos un mal grafo. Pruebe que $(1)$ existe un torneo con $8$ vértices tal que después de cambiar la orientación de cualquier máximo $7$ aristas del torneo, el grafo es siempre un mal grafo; $(2)$ para cualquier torneo con $8$ vértices, uno puede cambiar la orientación de a lo sumo $8$ aristas del torneo para obtener un buen grafo. (Un torneo es un grafo completo con aristas dirigidas.)

Sea $DFGE$ un cuadrilátero cíclico. La línea $DF$ interseca a $EG$ en $C,$ y la línea $FE$ interseca a $DG$ en $H.$ $J$ es el punto medio de $FG.$ La línea $\ell$ es la reflexión de la línea $DE$ en $CH,$ y interseca a la línea $GF$ en $I.$ Pruebe que $C,J,H,I$ son concíclicos.

Sea $0\leq x_1\leq x_2\leq \cdots \leq x_n\leq 1 $ $(n\geq 2).$ Pruebe que $$\sqrt[n]{x_1x_2 \cdots x_n}+ \sqrt[n]{(1-x_1)(1-x_2)\cdots (1-x_n)}\leq \sqrt[n]{1-(x_1- x_n)^2}.$$

Sea $p$ un número primo tal que $p\mid (2^{2019}-1) .$ La secuencia $a_1,a_2,...,a_n$ satisface las siguientes condiciones: $a_0=2, a_1=1 ,a_{n+1}=a_n+\frac{p^2-1}{4}a_{n-1}$ $(n\geq 1).$ Pruebe que $p\nmid (a_n+1),$ para cualquier $n\geq 0.$

Dado un paralelogramo $OABC$ en el coordenado con $O$ el origen y $A,B,C$ puntos reticulares. Pruebe que para todo punto reticular $P$ en el interior o frontera de $\triangle ABC$ , existen puntos reticulares $Q,R$ (pueden ser iguales) en el interior o frontera de $\triangle OAC$ con $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR}$ .

Para una secuencia, se puede realizar la siguiente operación: seleccionar tres términos adyacentes $a,b,c,$ y cambiarlo a $b,c,a.$ Determine todos los enteros positivos posibles $n\geq 3,$ tales que después de un número finito de operaciones, la secuencia $1,2,\cdots, n$ se puede cambiar a $n,n-1,\cdots,1$ finalmente.

Encuentre enteros $a_1,a_2,\cdots,a_{18}$ , tales que $a_1=1,a_2=2,a_{18}=2019$ , y para todo $3\le k\le 18$ , existe $1\le i<j<k$ con $a_k=a_i+a_j$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncírculo $\odot O.$ Las líneas tangentes a $\odot O$ en $A,B$ se intersecan en $L.$ $M$ es el punto medio del segmento $AB.$ La línea que pasa por $D$ y es paralela a $CM$ interseca a $ \odot (CDL) $ en $F.$ La línea $CF$ interseca a $DM$ en $K,$ e interseca a $\odot O$ en $E$ (diferente del punto $C$ ) . Pruebe que $EK=DK.$

Dado $r\in\mathbb{R}$. Alicia y Bob juegan el siguiente juego: Una ecuación con espacios en blanco está escrita en la pizarra como se muestra a continuación: $$S=|\Box-\Box|+|\Box-\Box|+|\Box-\Box|$$ En cada ronda, Alicia elige un número real de $[0,1]$ (no necesariamente diferente de los números elegidos antes) y Bob lo rellena en un cuadro vacío. Después de 6 rondas, cada espacio en blanco se llena y $S$ se determina al mismo tiempo. Si $S\ge r$ entonces Alicia gana, de lo contrario Bob gana. Encuentra todos los $r$ tales que Alicia pueda garantizar su victoria.