7 Defina la sucesión $(a_n):a_n=2^n+3^n+6^n+1(n\in\mathbb{Z}_+)$ . ¿Existe un entero $k\geq2$ tal que $\gcd(k,a_i)=1$ para todo $k\in\mathbb{Z}_+$ ? Si es así, halle el menor $k$ . Si no, demuéstrelo.

8 Sea $A=\{1,2,\cdots,n\}$ . Si existen conjuntos no vacíos $B,C$ tales que $B\cap C=\varnothing,B\cup C=A$ . La suma de los cuadrados de todos los elementos de $B$ es $M$ , la suma de los cuadrados de todos los elementos de $C$ es $N$ , $M-N=2016$ . Halle el valor mínimo de $n$ .

1 Igual que el Problema 1 de Grado 10.

2 Dados $n$ números positivos $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{n}$ tales que $a_{1}\cdot a_{2}\cdot ...\cdot a_{n}=1.$ Demuestre que \[ \left( 1+a_{1}\right) \left( 1+a_{2}\right) ...\left(1+a_{n}\right) \geq 2^{n}.\]

18 Resuelva la ecuación $\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{p}, $ donde $p$ es un parámetro real. Investigue para qué valores de $p$ existen soluciones y cuántas soluciones existen. (Por supuesto, la última pregunta ''cuántas soluciones existen'' debe entenderse como ''cuántas soluciones existen módulo $2\pi $''.)

50 Para cualquier cuadrilátero con longitudes de lados $a,$ $b,$ $c,$ $d$ y área $S,$ demuestre la desigualdad $S\leq \frac{a+c}{2}\cdot \frac{b+d}{2}.$

2 El triángulo $ABC$ está inscrito en la circunferencia $\odot O$ . La bisectriz de $\angle ABC$ interseca a $\odot O$ en $D$ . Las dos rectas $PB$ y $PC$ tangentes a $\odot O$ se intersecan en $P$ . $PD$ interseca a $AC$ en $E$ y a $\odot O$ en $F$ . $M$ es el punto medio de $BC$ . Demuestre que $M,F,C,E$ son concíclicos.

3 Sea $m(m>1)$ un entero; defina $(a_n)$ : $a_0=m,a_{n}=\varphi(a_{n-1})$ para todo entero positivo $n$ . Si para todo entero no negativo $k$ se cumple $a_{k+1}\mid a_k$ , halle todos los $m$ que no superan $2016$ . Nota: $\varphi(n)$ denota la función de Euler.

4 Igual que el Problema 4 de Grado 10.

5 $a_1=2,a_{n+1}=\frac{2^{n+1}a_n}{(n+\frac{1}{2})a_n+2^n}(n\in\mathbb{Z}_+)$ (a) Halle $a_n$ . (b) Sea $b_n=\frac{n^3+2n^2+2n+2}{n(n+1)(n^2+1)a_n}$ . Halle $S_n=\sum_{i=1}^nb_i$ .