Sean $a_1,a_2,\cdots ,a_9$, $9$ enteros positivos (no necesariamente distintos) que satisfacen: para todo $1\le i<j<k\le 9$, existe $l (1\le l\le 9)$ distinto de $i,j$ y $j$ tal que $a_i+a_j+a_k+a_l=100$. Encuentra el número de 9 -tuplas $(a_1,a_2,\cdots ,a_9)$ que satisfacen las condiciones anteriores.

Sean $n$ y $k$ enteros dados tales que $n\ge k\ge 2$. Alicia y Bob juegan un juego en una tabla de $n$ por $n$ con celdas blancas. Se turnan para elegir una celda blanca y colorearla de negro. Alicia se mueve primero. El juego termina tan pronto como hay al menos una celda negra en cada cuadrado de $k$ por $k$ después de que un jugador se mueve, quien es declarado el ganador del juego. ¿Quién tiene la estrategia ganadora?

En el triángulo $ABC$, sea $D$ un punto en $BC$. Sean $I_1$ e $I_2$ los incentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ respectivamente. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $AI_1D$ y $AI_2D$ respectivamente. Sean las líneas $I_1O_2$ e $I_2O_1$ se intersectan en $P$. Demuestra que $PD\perp BC$.

Sea $n$ un entero positivo tal que existen enteros positivos $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ que satisfacen $$x_1x_2\cdots x_n(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)=100n.$$ Encuentra el mayor valor posible de $n$.

Sea $p$ un primo y $n$ un entero positivo tal que $p^2$ divide a $\prod_{k=1}^n (k^2+1)$. Demuestra que $p<2n$.

Dado un entero $n\geq 2$ y números reales $x_1,x_2,\cdots, x_n$ en el intervalo $[0,1]$ . Demostrar que existen números reales $a_0,a_1,\cdots,a_n$ que satisfacen las siguientes condiciones:\n(1) $a_0+a_n=0$ ;\n(2) $|a_i|\leq 1$ , para $i=0,1,\cdots,n$ ;\n(3) $|a_i-a_{i-1}|=x_i$ , para $i=1,2,\cdots,n$ .

Dado un entero $a_1\geq 2$ . Para un entero $n\geq 2$ , definir $a_n$ como el menor entero positivo que no es coprimo con $a_{n-1}$ y no es igual a $a_1,a_2,\cdots, a_{n-1}$ . Demostrar que todo entero positivo excepto 1 aparece en esta secuencia $\{a_n\}$ .

Sea $G=G(V,E)$ un grafo simple con conjunto de vértices $V$ y conjunto de aristas $E$ . Supongamos que $|V|=n$ . Un mapa $f:\,V\rightarrow\mathbb{Z}$ se llama bueno, si $f$ satisface lo siguiente:\n(1) $\sum_{v\in V} f(v)=|E|$ ;\n(2) colorear arbitrariamente algunos vértices en rojo, siempre se puede encontrar un vértice rojo $v$ tal que $f(v)$ no sea mayor que el número de vértices no coloreados adyacentes a $v$ .\nSea $m(G)$ el número de mapas buenos. Demostrar que si cada vértice en $G$ es adyacente a al menos otro vértice, entonces $n\leq m(G)\leq n!$ .

Sean $n_1,n_2, \cdots, n_{26}$ enteros positivos distintos por pares que satisfacen\n(1) para cada $n_i$ , sus dígitos pertenecen al conjunto $\{1,2\}$ ;\n(2) para cada $i,j$ , $n_i$ no se puede obtener de $n_j$ agregando algunos dígitos a la derecha.\nEncontrar el valor mínimo posible de $\sum_{i=1}^{26} S(n_i)$ , donde $S(m)$ denota la suma de todos los dígitos de un entero positivo $m$ .

Sean $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_{2010}\}$ y $B=\{b_1,b_2,\cdots,b_{2010}\}$ dos conjuntos de números complejos. Supongamos que\n\[\sum_{1\leq i<j\leq 2010} (a_i+a_j)^k=\sum_{1\leq i<j\leq 2010}(b_i+b_j)^k\]\nse cumple para todo $k=1,2,\cdots, 2010$ . Demostrar que $A=B$ .