Asuma que los números complejos $z_1,z_2,...,z_n$ satisfacen $|z_i-z_j| \le 1$ para cualquier $1 \le i <j \le n$ . Sea $$S= \sum_{1 \le i <j \le n} |z_i-z_j|^2.$$ (1) Si $n = 6063$ , encuentra el valor máximo de $S$ . (2) Si $n= 2021$ , encuentra el valor máximo de $S$ .

Sea $\vartriangle ABC$ un triángulo acutángulo con alturas $AD$ , $BE$ , $CF$ y ortocentro $H$ . El círculo $\odot V$ es el circuncírculo de $\vartriangle DE F$ . Sean los segmentos $FD$ , $BH$ se intersecan en el punto $P$ . Sean los segmentos $ED$ , $HC$ se intersecan en el punto $Q$ . Sea $K$ un punto en $AC$ tal que $VK \perp CF$ . a) Demuestra que $\vartriangle PQH \sim \vartriangle AKV$ . b) Sea la línea $PQ$ interseca a $\odot V$ en los puntos $I,G$ . Demuestra que los puntos $B,I,H,G,C$ son concíclicos

Como se muestra en la figura, se sabe que $BC= AC$ en $\vartriangle ABC$ , $M$ es el punto medio de $AB$ , los puntos $D$ , $E$ se encuentran en $AB$ tal que $\angle DCE= \angle MCB$ , el círculo circunscrito de $\vartriangle BDC$ y el círculo circunscrito de $\vartriangle AEC$ se intersecan en el punto $F $ ( diferente del punto $C$ ) , el punto $H$ se encuentra en $AB$ tal que la línea recta $CM$ biseca el segmento de línea $HF$ . Sean los circuncentros de $\vartriangle HFE$ y $\vartriangle BFM$ $O_1$ , $O_2$ respectivamente. Demuestra que $O_1O_2 \perp CF$ .

$ABCD$ está inscrito en un círculo unitario $\Gamma$ . Sean $\Omega_1$ , $\Omega_2$ las circunferencias circunscritas de $\vartriangle ABD$ , $\vartriangle CBD$ respectivamente. Los círculos $\Omega_1$ , $\Omega_2$ son tangentes al segmento $BD$ en $M$ , $N$ respectivamente. La línea $AM$ interseca a $\Gamma$ , $\Omega_1$ nuevamente en los puntos $X_1$ , $X_2$ respectivamente (diferente de $A$ , $M$ ) . Sea $\omega_1$ el círculo que pasa por $X_1$ , $X_2$ y es tangente a $\Omega_1$ . La línea $CN$ interseca a $\Gamma$ , $\Omega_2$ nuevamente en los puntos $Y_1$ , $Y_2$ respectivamente (diferente de $C$ , $N$ ) . Sea $\omega_2$ el círculo que pasa por $Y_1$ , $Y_2$ y es tangente a $\Omega_2$ . Los círculos $\Omega_1$ , $\Omega_2$ , $\omega_1$ , $\omega_2$ tienen radios $R_1$ , $R_2$ , $r_1$ , $r_2$ respectivamente. Demuestra que $$r_1+r_2-R_1-R_2=1.$$

Como se muestra en la figura, $BQ$ es un diámetro de la circunferencia circunscrita de $ABC$ , y $D$ es el punto medio del arco $BC$ (excluyendo el punto $A$ ) . La bisectriz del ángulo exterior de $\angle BAC$ interseca y la extensión de $BC$ en el punto $E$ . El rayo $EQ$ interseca a $\odot (ABC)$ en el punto $P$ . El punto $S$ se encuentra en $PQ$ de modo que $SA = SP$ . El punto $T$ se encuentra en $BC$ tal que $TB = TD$ . Demuestra que $TS \perp SE$ .

Todas las aristas de un poliedro están pintadas de rojo o amarillo. Para un ángulo de una cara, si las aristas que lo determinan son de diferentes colores, entonces el ángulo se llama excéntrico. La excentricidad de un vértice $A$ , a saber $S_A$ , se define como el número de ángulos excéntricos que tiene. Demuestre que existen dos vértices $B$ y $C$ tales que $S_B + S_C \leq 4$ .

Sea $f$ una función $f: \mathbb{N} \cup \{0\} \mapsto \mathbb{N},$ y satisface las siguientes condiciones: (1) $f(0) = 0, f(1) = 1,$ (2) $f(n+2) = 23 \cdot f(n+1) + f(n), n = 0,1, \ldots.$ Demuestre que para cualquier $m \in \mathbb{N}$ , existe un $d \in \mathbb{N}$ tal que $m | f(f(n)) \Leftrightarrow d | n.$

Elegimos 5 puntos $A_1, A_2, \ldots, A_5$ en una circunferencia de radio 1 y centro $O.$ $P$ es un punto dentro del círculo. Denotamos $Q_i$ como la intersección de $A_iA_{i+2}$ y $A_{i+1}P$ , donde $A_7 = A_2$ y $A_6 = A_1.$ Sea $OQ_i = d_i, i = 1,2, \ldots, 5.$ Encuentre el producto $\prod^5_{i=1} A_iQ_i$ en términos de $d_i.$

Se dan $5$ puntos en el plano, cualesquiera tres no colineales y cualesquiera cuatro no concíclicos. Si tres puntos determinan un círculo que tiene uno de los puntos restantes dentro de él y el otro fuera de él, entonces se dice que el círculo es 'bueno'. Sea el número de círculos 'buenos' $n$ ; encuentre todos los valores posibles de $n$ .

Para $i = 1,2, \ldots, 1991$ , elegimos $n_i$ puntos y escribimos el número $i$ en ellos (cada punto tiene sólo un número escrito en él). Se dibuja un conjunto de cuerdas tales que: (i) Son pares no intersecantes. (ii) Los extremos de cada cuerda tienen números distintos. Si para todas las posibles asignaciones de números la operación siempre se puede hacer, encuentre la condición necesaria y suficiente que los números $n_1, n_2, \ldots, n_{1991}$ deben satisfacer para que esto sea posible.