Para un entero positivo $n$, denota $F_n(x_1,x_2,\ldots,x_n) = 1 + x_1 + x_1x_2 + \cdots +x_1x_2\ldots x_n$. Para cualesquiera números reales $x_1\geq x_2 \geq \ldots \geq x_k \geq 0$, demuestra que \[ \prod_{i=1}^k F_i(x_{k-i+1},x_{k-i+2},\ldots,x_k) \geq \prod_{i=1}^k F_i(x_i,x_i,\ldots,x_i)\]

20 Dados el entero $n > 1$ y el número real $a > 0$ determine el máximo de $\sum_{i=1}^{n-1} x_i x_{i+1}$ sobre todos los números no negativos $x_i$ con suma $a.$ Amir

21 Sea $N$ el número de soluciones enteras de la ecuación \[x^2 - y^2 = z^3 - t^3\] que satisfacen la condición $0 \leq x, y, z, t \leq 10^6$ , y sea $M$ el número de soluciones enteras de la ecuación \[x^2 - y^2 = z^3 - t^3 + 1\] que satisfacen la condición $0 \leq x, y, z, t \leq 10^6$ . Demuestre que $N >M.$ Amir

22 Dos circunferencias en un plano se cortan. $A$ es uno de los puntos de intersección. Partiendo simultáneamente desde $A$ , dos puntos se mueven con velocidad constante, cada uno recorriendo su propia circunferencia en el mismo sentido. Los dos puntos regresan a $A$ simultáneamente después de una revolución. Demuestre que existe un punto fijo $P$ en el plano tal que los dos puntos están siempre a la misma distancia de $P.$

23 Encuentre todos los números naturales $n$ para los cuales $2^8 +2^{11} +2^n$ es un cuadrado perfecto. Amir

24 Una circunferencia $C$ con centro $O$ sobre la base $BC$ de un triángulo isósceles $ABC$ es tangente a los lados iguales $AB,AC$ . Si se eligen el punto $P$ sobre $AB$ y el punto $Q$ sobre $AC$ tales que $PB \times CQ = (\frac{BC}{2})^2$ , demuestre que el segmento $PQ$ es tangente a la circunferencia $C$ , y demuestre el recíproco. Amir

25 Consideramos un punto $P$ en un plano $p$ y un punto $Q \not\in p$ . Determine todos los puntos $R$ de $p$ para los cuales \[ \frac{QP+PR}{QR} \] es máximo.

5 Sea $ c > 2,$ y sea $ a(1), a(2), \ldots$ una sucesión de números reales no negativos tal que \[ a(m + n) \leq 2 \cdot a(m) + 2 \cdot a(n) \text{ for all } m,n \geq 1, \] y $ a\left(2^k \right) \leq \frac {1}{(k + 1)^c} \text{ for all } k \geq 0.$ Demuestre que la sucesión $ a(n)$ es acotada. Autor: Vjekoslav Kovač, Croacia

26 Demuestre que las ecuaciones funcionales \[f(x + y) = f(x) + f(y),\] \[ \text{and} \qquad f(x + y + xy) = f(x) + f(y) + f(xy) \quad (x, y \in \mathbb R)\] son equivalentes. Amir

35 Llamamos admisible a una coloración $f$ de los elementos del conjunto $M = \{(x, y) | x = 0, 1, \dots , kn - 1; y = 0, 1, \dots , ln - 1\}$ con $n$ colores si cada color aparece exactamente $k$ y $ l$ veces en cada fila y columna y no hay rectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas cuyos cuatro vértices en $M$ tengan el mismo color. Demuestre que toda coloración admisible $f$ satisface $kl \leq n(n + 1).$ Amir