Tres círculos $\omega_1$ , $\omega_2$ y $\omega_3$ pasan por un punto común, digamos $P$ . La línea tangente a $\omega_1$ en $P$ interseca a $\omega_2$ y $\omega_3$ por segunda vez en los puntos $P_{1,2}$ y $P_{1,3}$ , respectivamente. Los puntos $P_{2,1}$ , $P_{2,3}$ , $P_{3,1}$ y $P_{3,2}$ se definen de manera similar. Demuestre que las mediatrices de los segmentos $P_{1,2}P_{1,3}$ , $P_{2,1}P_{2,3}$ y $P_{3,1}P_{3,2}$ son concurrentes. Propuesto por Mahdi Etesamifard Dadgarnia

Encuentre todos los cuadriláteros $ABCD$ tales que los cuatro triángulos $DAB$ , $CDA$ , $BCD$ y $ABC$ son semejantes entre sí. Propuesto por Morteza Saghafian Dadgarnia

Dos círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente se intersecan en los puntos $A$ y $B$ , y el punto $O_1$ se encuentra en $\omega_2$ . Sea $P$ un punto arbitrario que se encuentra en $\omega_1$ . Las líneas $BP, AP$ y $O_1O_2$ cortan a $\omega_2$ por segunda vez en los puntos $X$ , $Y$ y $C$ , respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $XPYC$ es un paralelogramo. Propuesto por Iman Maghsoudi Dadgarnia

Para un polígono convexo (es decir, todos los ángulos menores de $180^\circ$ ) llame a una diagonal bisectriz si biseca tanto el área como el perímetro del polígono. ¿Cuál es el número máximo de diagonales bisectrices para un pentágono convexo? Propuesto por Morteza Saghafian Dadgarnia

Se da un cuadrilátero $ABCD$ tal que $$ \angle DAC = \angle CAB = 60^\circ, $$ y $$ AB = BD - AC. $$ Las líneas $AB$ y $CD$ se intersecan en el punto $E$ . Demuestre que $$ \angle ADB = 2\angle BEC. $$ Propuesto por Iman Maghsoudi Dadgarnia

Hay $n>2$ líneas en el plano en posición general; es decir, dos cualquiera de ellas se cruzan, pero no hay tres concurrentes. Todos sus puntos de intersección están marcados, y luego se eliminan todas las líneas, pero los puntos marcados permanecen. No se sabe a qué dos líneas pertenece cada punto marcado. ¿Es posible saber a qué línea pertenece cada punto y restaurarlas todas? Propuesto por Boris Frenkin - Rusia Dadgarnia

Como se muestra en la figura, hay dos rectángulos $ABCD$ y $PQRD$ con la misma área, y con bordes correspondientes paralelos. Sean los puntos $N,$ $M$ y $T$ los puntos medios de los segmentos $QR,$ $PC$ y $AB$ , respectivamente. Demuestre que los puntos $N,M$ y $T$ se encuentran en la misma línea. http://s4.picofile.com/file/8372959484/E02.png Propuesto por Morteza Saghafian Dadgarnia

Hay una mesa con forma de rectángulo de $8\times 5$ con cuatro agujeros en sus esquinas. Después de disparar una bola desde los puntos $A, B$ y $C$ en las trayectorias mostradas, ¿caerá la bola en alguno de los agujeros después de 6 reflejos? (La bola se refleja con el mismo ángulo después de contactar los bordes de la mesa.) http://s5.picofile.com/file/8372960750/E01.png Propuesto por Hirad Alipanah Dadgarnia

La esfera $S$ toca un plano. Sean $A,B,C,D$ cuatro puntos en el plano tales que no tres de ellos son colineales. Considere el punto $A'$ tal que $S$ es tangente a las caras del tetraedro $A'BCD$ . Los puntos $B',C',D'$ se definen de manera similar. Demuestre que $A',B',C',D'$ son coplanares y el plano $A'B'C'D'$ toca $S$ .

Tres círculos $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ son tangentes a la línea $l$ en los puntos $A,B,C$ ( $B$ se encuentra entre $A,C$ ) y $\omega_2$ es externamente tangente a los otros dos. Sean $X,Y$ los puntos de intersección de $\omega_2$ con la otra tangente externa común de $\omega_1,\omega_3$ . La línea perpendicular a través de $B$ a $l$ se encuentra con $\omega_2$ nuevamente en $Z$ . Demuestre que el círculo con diámetro $AC$ toca $ZX,ZY$ .