El diagrama muestra tres cuadrados $PQRS, TRVU$ y $UWXY$. Los puntos $P, T$ y $X$ están alineados. El área de $PQRS$ es $36$, y el área de $TRVU$ es $16$. ¿Cuál es el área del triángulo $PXV$? [image]

Rodrigo fue caminando a casa de su amigo Arturo que vive a 1700 metros de su casa hacia el norte. Quiere regresar a su casa pero quiere caminar lo menos posible, así que tomará autobuses en dirección norte o sur. Lo malo es que desde casa de Arturo hacia el sur, los autobuses sólo se detienen cada 960 metros y en los mismos lugares en que ésos hacen parada, los autobuses hacia el norte sólo hacen parada cada 600 metros. ¿Cuántos metros tendrá que caminar si tomará tantos autobuses como sea necesario para caminar lo menos posible?

Sea $n$ un número entero mayor que 100 tal que el mínimo común múltiplo de los números $1, 2, 3, \ldots, n$ es igual que el mínimo común múltiplo de los números $101, 102, 103, \ldots, n$. Encontrar el menor valor posible de $n$.

Los vértices del prisma pentagonal que se muestra en la figura se etiquetan con los números del 1 al 10, uno en cada vértice, sin repetir; ya se han etiquetado cuatro vértices. Si en cada una de las 5 caras laterales las sumas de los 4 vértices que las forman son todas iguales, ¿qué posibilidades para la suma de la cara pentagonal superior hay? [image]

Con los números del 1 al 26 se quieren formar 13 fracciones, usando los números disponibles como numerador o denominador de manera que cada uno de ellos se use sólo una vez. Luego, cada fracción se simplifica. ¿Cuál es la máxima cantidad de enteros que se pueden obtener después de la simplificación?

En el triángulo $ABC$, $D$ y $E$ son los respectivos puntos sobre $AC$ y $BC$ de tal manera que $\angle ADB = \angle BDE = \angle EDC = 60^{\circ}$. Además $\angle ACB = 20^{\circ}$ y la bisectriz de este último intersecta a $DE$ en $F$ (ver la figura). Sea $X$ la intersección de $AE$ con $BF$. Probar que $XD$ es perpendicular a $AC$. [image]

En la figura, $BCD$ es un triángulo con ángulo recto en $C$, $AB$ es perpendicular a $BC$, $AD$ es un arco de círculo con centro en $B$ y $BD$ es un arco de círculo con centro en $C$. Probar que las áreas $X$ y $Y$ son iguales. [image]

¿Cuántos números entre 1500 y 1900 cumplen que al poner el signo de multiplicación entre la segunda y tercera cifras y realizar la multiplicación de los números de dos cifras que se forman, éste es un cuadrado perfecto? (Por ejemplo, dos números que cumplen la condición son: 1700 y 1872 pues $17 \times 0 = 0^{2}$ y $18 \times 72 = 1296 = 36^{2}$.)

Un niño puso los números del 1 al 9 en un tablero de $3\times 3$ de manera que cada número se usó una vez. Para cada renglón, él coloreó la mediana de los tres números en ese renglón y se dio cuenta que la mediana de los tres números coloreados es 5. ¿De cuántas maneras se pudo haber llenado el tablero? Nota. La mediana de tres números es el que está en medio; es decir, si los números son $a$, $b$ y $c$ y $a < b < c$ entonces $b$ es la mediana.

Encontrar una terna $(a, b, c)$ de enteros positivos que cumplan $2a = 3b = 5c$ y que $a^2 + b^2 + c^2$ sea el cubo de un número entero.