Sea $a_1=a_2=1$ y \[ a_{n+2}=\frac{n(n+1)a_{n+1}+n^2a_n+5}{n+2}-2\] para cada $n\in\mathbb N$ . Encuentre todos los $n$ tales que $a_n\in\mathbb N$.

Sea $ABC$ un triángulo. $W_a$ es un círculo con centro en $BC$ que pasa por $A$ y es perpendicular al circuncírculo de $ABC$. $W_b,W_c$ se definen de manera similar. Demuestre que los centros de $W_a,W_b,W_c$ son colineales.

Suponga que $M$ es un punto arbitrario en el lado $BC$ del triángulo $ABC$. $B_1,C_1$ son puntos en $AB,AC$ tales que $MB = MB_1$ y $MC = MC_1$. Suponga que $H,I$ son el ortocentro del triángulo $ABC$ y el incentro del triángulo $MB_1C_1$. Demuestre que $A,B_1,H,I,C_1$ se encuentran en un círculo.

Un entero $n$ se llama un buen número si y solo si $ |n|$ no es el cuadrado de otro entero. Encuentre todos los enteros $m$ tales que puedan escribirse de infinitas maneras como la suma de tres números buenos diferentes y el producto de estos tres números es el cuadrado de un número impar.

En el tetraedro $ABCD$, los radios de los cuatro circuncírculos de las cuatro caras son iguales. Demuestre que $AB=CD$ , $AC=BD$ y $AD=BC$.

Se le da una calculadora simple. (Contiene 8 dígitos y solo hace las operaciones +,-,*,/ , $ \sqrt{\mbox{}}$ ) ¿Cómo puede encontrar $3^{\sqrt{2}}$ con una precisión de 6 dígitos?

El segmento $AB$ está fijo en el plano. Encuentre el $n$ más grande, tal que haya $n$ puntos $P_1,P_2,\dots,P_n$ en el plano tales que los triángulos $ABP_i$ son similares para $ 1\leq i\leq n$. Demuestre que todos los $P_i$ 's se encuentran en un círculo.

Asuma una matriz de $m\times n$ que está llena solo con 0, 1 y cualquier dos filas difieren en al menos $n/2$ miembros, demuestre que $m \leq 2n$. (por ejemplo, la diferencia de estas dos filas es solo en un índice 110 100)

n $\geq$ 6 es un entero. Evalúe el mínimo de f(n) tal que: cualquier grafo con n vértices y f(n) aristas contiene dos ciclos que son distintos (también no tienen vértices en común)?

Aquí está el problema más difícil y hermoso que ocurre en la olimpiada iraní número 21 (2003). Asuma que P es un n-gono, que se encuentra en el plano, nombramos sus aristas 1,2,..,n. Si S=s1,s2,s3,.... es una secuencia finita o infinita tal que para cada i, si está en {1,2,...,n}, movemos P en el plano de acuerdo con la S de esta forma: al principio reflejamos P a través de s1 (s1 significa la arista cuyo número es s1) luego a través de s2 y así sucesivamente como en la figura de abajo. a) Demuestre que existe la secuencia infinita S tal que si movemos P de acuerdo con S cubrimos todo el plano b)Demuestre que la secuencia en a) no es periódica. c) Asuma que P es un pentágono regular, cuyo radio de su circuncírculo es 1, y D es un círculo, con radio 1.00001, arbitrariamente en el plano. ¿Existe una secuencia S tal que movemos P de acuerdo con S entonces P reside en D completamente?