Sea $ABC$ un triángulo. El incírculo del triángulo $ABC$ toca el lado $BC$ en $A^{\prime}$ , y la línea $AA^{\prime}$ se encuentra con el incírculo nuevamente en un punto $P$ . Sean las líneas $CP$ y $BP$ que se encuentran con el incírculo del triángulo $ABC$ nuevamente en $N$ y $M$ , respectivamente. Pruebe que las líneas $AA^{\prime}$ , $BN$ y $CM$ son concurrentes.

Llamamos a una permutación $ \left(a_1, a_2, ..., a_n\right)$ de $ \left(1, 2, ..., n\right)$ cuadrática si existe al menos un cuadrado perfecto entre los números $ a_1$ , $ a_1 + a_2$ , $ ...$ , $ a_1 + a_2 + ... + a_n$ . Encuentre todos los números naturales $ n$ tales que todas las permutaciones en $ S_n$ son cuadráticas. Observación. $ S_{n}$ denota el $ n$ - ésimo grupo simétrico, el grupo de permutaciones en $ n$ elementos.

Un cubo de $10\times10\times10$ tiene $1000$ cubos unitarios. $500$ de ellos son coloreados de negro y $500$ de ellos son coloreados de blanco. Muestre que hay al menos $100$ cuadrados unitarios, siendo la cara común de un cubo unitario blanco y uno negro.

Suponga que de un rectángulo de $(m+2)\times(n+2)$ cortamos $4$ , $1\times1$ esquinas. Ahora en la primera y última fila, la primera y última columna, escribimos $2(m+n)$ números reales. Pruebe que podemos llenar el rectángulo interior $m\times n$ con números reales tales que cada número sea el promedio de sus $4$ vecinos.

$\pi(n)$ es el número de primos que no son mayores que $n$. Para $n=2,3,4,6,8,33,\dots$ tenemos $\pi(n)|n$. ¿Existen infinitos enteros $n$ tales que $\pi(n)|n$?

Llamamos $A_{1},A_{2},A_{3}$ mangool si existe una permutación $\pi$ tal que $A_{\pi(2)}\not\subset A_{\pi(1)},A_{\pi(3)}\not\subset A_{\pi(1)}\cup A_{\pi(2)}$. Una buena familia es una familia de subconjuntos finitos de $\mathbb N$ como $X,A_{1},A_{2},\dots,A_{n}$. A cada buena familia le corresponde un gráfico con vértices $\{A_{1},A_{2},\dots,A_{n}\}$. Conecte $A_{i},A_{j}$ si y solo si $X,A_{i},A_{j}$ son conjuntos mangool. Encuentre todos los gráficos que podemos encontrar una buena familia correspondiente a él.

$S_{1},S_{2},S_{3}$ son tres esferas en $\mathbb R^{3}$ que sus centros no son colineales. $k\leq8$ es el número de planos que tocan tres esferas. $A_{i},B_{i},C_{i}$ es el punto en que el $i$ - ésimo plano toca las esferas $S_{1},S_{2},S_{3}$. Sea $O_{i}$ el circuncentro de $A_{i}B_{i}C_{i}$. Pruebe que $O_{i}$ son colineales.

Asumamos $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in\mathbb R^{+}$ , $\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=n$ , $\sum_{i=1}^{n}x_{i}\geq s>0$ y $0\leq\lambda\leq1$. Pruebe que al menos $\left\lceil\frac{s^{2}(1-\lambda)^{2}}n\right\rceil$ de estos números son mayores que $\frac{\lambda s}{n}$.

Una escuela tiene $n$ estudiantes y $k$ clases. Cada dos estudiantes en la misma clase son amigos. Para cada dos clases diferentes, hay dos personas de estas clases que no son amigas. Pruebe que podemos dividir a los estudiantes en $n-k+1$ partes tales que los estudiantes en cada parte no son amigos.

$O$ es un punto en el triángulo $ABC$. Dibujamos perpendiculares desde $O$ a $BC,AC,AB$ que intersectan $BC,AC,AB$ en $A_{1},B_{1},C_{1}$. Pruebe que $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$ si y solo si el perímetro de $ABC$ no es menor que el perímetro de los triángulos $AB_{1}C_{1},BC_{1}A_{1},CA_{1}B_{1}$.