Sea $ ABC$ un triángulo y sean $ \mathcal{M}_{a}$ , $ \mathcal{M}_{b}$ , $ \mathcal{M}_{c}$ los círculos que tienen como diámetros las medianas $ m_{a}$ , $ m_{b}$ , $ m_{c}$ del triángulo $ ABC$ , respectivamente. Si dos de estos tres círculos son tangentes a la circunferencia inscrita de $ ABC$ , demuestre que el tercero también es tangente.

Sea $ n$ un entero positivo no nulo. Encuentra $ n$ tal que exista una permutación $ \sigma \in S_{n}$ tal que \[ \left| \{ |\sigma(k) - k| \ : \ k \in \overline{1, n} \}\right | = n.\]

Sea $ n \geq 3$ un entero positivo y sea $ m \geq 2^{n-1}+1$ . Demuestra que para cada familia de subconjuntos distintos no nulos $ (A_j)_{j \in \overline{1, m}}$ de $ \{1, 2, ..., n\}$ existen $ i$ , $ j$ , $ k$ tales que $ A_i \cup A_j = A_k$ .

Sean $ m, n \geq 1$ dos enteros coprimos y sea también $ s$ un entero arbitrario. Determina el número de subconjuntos $ A$ de $ \{1, 2, ..., m + n - 1\}$ tales que $ |A| = m$ y $ \sum_{x \in A} x \equiv s \pmod{n}$ .

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean $ O \in AC \cap BD$ , $ P \in AB \cap CD$ , $ Q \in BC \cap DA$ . Si $ R$ es la proyección ortogonal de $ O$ en la línea $ PQ$ demuestra que las proyecciones ortogonales de $ R$ en las líneas laterales de $ ABCD$ son concíclicas.

Sea $ n$ un entero positivo no nulo. Un conjunto de personas se llama un conjunto $ n$ - balanceado si en cualquier subconjunto de $ 3$ personas existen al menos dos que se conocen entre sí y en cada subconjunto de $ n$ personas hay dos que no se conocen entre sí. Demuestra que un conjunto $ n$ - balanceado tiene como máximo $ (n - 1)(n + 2)/2$ personas.

Sean $ m,\ n \geq 3$ enteros impares positivos. Demuestra que $ 2^{m}-1$ no divide a $ 3^{n}-1$ .

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $ H$ y sea $ X$ un punto arbitrario en su plano. El círculo con diámetro $ HX$ interseca las líneas $ AH$ y $ AX$ en $ A_{1}$ y $ A_{2}$ , respectivamente. Similarmente, define $ B_{1}$ , $ B_{2}$ , $ C_{1}$ , $ C_{2}$ . Demuestra que las líneas $ A_{1}A_{2}$ , $ B_{1}B_{2}$ , $ C_{1}C_{2}$ son concurrentes.

Sea $ ABC$ un triángulo con $ \measuredangle{BAC} < \measuredangle{ACB}$ . Sean $ D$ , $ E$ puntos en los lados $ AC$ y $ AB$ , tales que los ángulos $ ACB$ y $ BED$ son congruentes. Si $ F$ se encuentra en el interior del cuadrilátero $ BCDE$ tal que la circunferencia circunscrita del triángulo $ BCF$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ DEF$ y la circunferencia circunscrita de $ BEF$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ CDF$ , demuestre que los puntos $ A$ , $ C$ , $ E$ , $ F$ son concíclicos.

Sea $ G$ un grafo conectado con $ n$ vértices y $ m$ aristas tal que cada arista está contenida en al menos un triángulo. Encuentra el valor mínimo de $ m$ .