Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que el polinomio \[P(x)= \frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+...+x+1 ] no tiene ninguna raíz racional.

En una competencia deportiva, han participado $m$ equipos. Sabemos que cada dos equipos han competido exactamente una vez y el resultado es que un equipo gana y el otro pierde (es decir, no hay resultado igual). Demuestre que existe un equipo $x$ tal que para cada equipo $y,$ o bien $x$ le gana a $y$ o existe un equipo $z$ para el cual $x$ le gana a $z$ y $z$ le gana a $y.$ [es decir, demuestre que en todo torneo existe un rey.]

Sea $\{a_n\}_{n \geq 1}$ una secuencia en la que $a_1=1$ y $a_2=2$ y \[a_{n+1}=1+a_1a_2a_3 \cdots a_{n-1}+(a_1a_2a_3 \cdots a_{n-1} )^2 \qquad \forall n \geq 2.\] Demuestre que \[\lim_{n \to \infty} \biggl( \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\cdots + \frac{1}{a_n} \biggr) =2\]

Se da una esfera $S$ con centro $O$ y radio $R$. Sea $P$ un punto fijo en esta esfera. Los puntos $A,B,C$ se mueven sobre la esfera $S$ de tal manera que tenemos $\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 90^\circ.$ Demuestre que el plano del triángulo $ABC$ pasa por un punto fijo.

Sea $n$ un entero positivo, demuestre que \[ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} < \frac{1}{2 \sqrt n}\]\n(b) Encuentre un entero positivo $n$ para el cual \[ \bigg\lfloor 1 +\frac{1}{\sqrt 2} +\frac{1}{\sqrt 3} +\frac{1}{\sqrt 4} + \cdots +\frac{1}{\sqrt n} \bigg\rfloor =12\]

Si $A=(a_1,\cdots,a_n)$ , $B=(b_1,\cdots,b_n)$ son $2$ $n-$ tuplas tales que $a_i,b_i=0 \ or \ 1$ para $i=1,2,\cdots,n$ , definimos $f(A,B)$ como el número de $1\leq i\leq n$ tales que $a_i\ne b_i$ . Por ejemplo, si $A=(0,1,1)$ , $B=(1,1,0)$ , entonces $f(A,B)=2$ . Ahora, sean $A=(a_1,\cdots,a_n)$ , $B=(b_1,\cdots,b_n)$ , $C=(c_1,\cdots,c_n)$ 3 $n-$ tuplas, tales que para $i=1,2,\cdots,n$ , $a_i,b_i,c_i=0 \ or \ 1$ y $f(A,B)=f(A,C)=f(B,C)=d$ . $a)$ Demuestre que $d$ es par. $b)$ Demuestre que existe una $n-$ tupla $D=(d_1,\cdots,d_n)$ tal que $d_i=0 \ or \ 1$ para $i=1,2,\cdots,n$ , tal que $f(A,D)=f(B,D)=f(C,D)=\frac{d}{2}$ .

Sea $ABC$ un triángulo y $AB<AC<BC$ . Sean $D,E$ puntos en el lado $BC$ y la línea $AB$ , respectivamente ( $A$ está entre $B,E$ ) tales que $BD=BE=AC$ . La circunferencia circunscrita de $\Delta BED$ se encuentra con el lado $AC$ en $P$ y $BP$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $\Delta ABC$ en $Q$ . Demuestre que: \[ AQ+CQ=BP. \]

Sea el entero positivo $n$ que tiene al menos cuatro divisores positivos y $0<d_1<d_2<d_3<d_4$ sus divisores positivos más pequeños. Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que: \[ n=d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2. \]

Sea $n$ un entero positivo. Llamamos $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ una buena $n-$ tupla si $\sum_{i=1}^{n}{a_i}=2n$ y no existe un conjunto de $a_i$ s tal que la suma de ellos sea igual a $n$ . Encuentre todas las buenas $n-$ tuplas. (Por ejemplo, $(1,1,4)$ es una buena $3-$ tupla, pero $(1,2,1,2,4)$ no es una buena $5-$ tupla.)

Sea $ABC$ un triángulo. $I$ es el incentro de $\Delta ABC$ y $D$ es el punto de encuentro de $AI$ y la circunferencia circunscrita de $\Delta ABC$ . Sean $E,F$ en $BD,CD$ , respectivamente, tales que $IE,IF$ son perpendiculares a $BD,CD$ , respectivamente. Si $IE+IF=\frac{AD}{2}$ , encuentre el valor de $\angle BAC$ .