Sea $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una función diferenciable con derivada continua, que satisface $f\big(x+f'(x)\big)=f(x)$ . Llamemos a esta propiedad $(P)$ . a) Demuestre que si $f$ es una función con la propiedad $(P)$ , entonces existe un $x$ real tal que $f'(x)=0$ . b) Dé un ejemplo de una función no constante $f$ con la propiedad $(P)$ . c) Demuestre que si $f$ tiene la propiedad $(P)$ y la ecuación $f'(x)=0$ tiene al menos dos soluciones, entonces $f$ es una función constante.

Sea $n\geq 2$ un entero y denotemos por $H_{n}$ el conjunto de vectores columna $^{T}(x_{1},\ x_{2},\ \ldots, x_{n})\in\mathbb{R}^{n}$ , tales que $\sum |x_{i}|=1$ . Pruebe que existe solo un número finito de matrices $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ tales que la función lineal $f: \mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ dada por $f(x)=Ax$ tiene la propiedad $f(H_{n})=H_{n}$ .

Sea $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función continua, y $a<b$ dos puntos en la imagen de $f$ (es decir, existen $x,y$ tales que $f(x)=a$ y $f(y)=b$ ) . Demuestre que existe un intervalo $I$ tal que $f(I)=[a,b]$ .

Sean $A,B\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ (matrices reales $2\times 2$), que satisfacen $A^{2}+B^{2}=AB$ . Pruebe que $(AB-BA)^{2}=O_{2}$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, escaleno con ortocentro $H$ . Sea $\ell_a$ la línea que pasa por el reflejo de $B$ con respecto a $CH$ y el reflejo de $C$ con respecto a $BH$ . Las líneas $\ell_b$ y $\ell_c$ se definen de manera similar. Suponga que las líneas $\ell_a$ , $\ell_b$ y $\ell_c$ determinan un triángulo $\mathcal T$ . Demuestre que el ortocentro de $\mathcal T$ , el circuncentro de $\mathcal T$ y $H$ son colineales.

Sean $m$ y $n$ enteros positivos mayores que $1$ . En cada cuadrado unitario de una cuadrícula de $m\times n$ se encuentra una moneda con su lado de cruz hacia arriba. Un movimiento consta de los siguientes pasos: seleccione un cuadrado de $2\times 2$ en la cuadrícula; voltee las monedas en los cuadrados unitarios superior izquierdo e inferior derecho; voltee la moneda en el cuadrado unitario superior derecho o inferior izquierdo. Determine todos los pares $(m,n)$ para los cuales es posible que cada moneda muestre el lado de cara hacia arriba después de un número finito de movimientos.

Una secuencia de enteros $a_0, a_1 …$ se llama kawaii si $a_0 =0, a_1=1,$ y $$(a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n)(a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n)=0$$ para todos los enteros $n \geq 0$ . Un entero se llama kawaii si pertenece a alguna secuencia kawaii. Suponga que dos enteros consecutivos $m$ y $m+1$ son ambos kawaii (no necesariamente pertenecientes a la misma secuencia kawaii). Demuestre que $m$ es divisible por $3,$ y que $m/3$ también es kawaii.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncirculo $\omega$ y circuncentro $O$ . Los puntos $D\neq B$ y $E\neq C$ se encuentran en $\omega$ tales que $BD\perp AC$ y $CE\perp AB$ . Sea $CO$ se encuentra con $AB$ en $X$ , y $BO$ se encuentra con $AC$ en $Y$ . Demuestre que los circuncirculos de los triángulos $BXD$ y $CYE$ tienen una intersección que se encuentra en la línea $AO$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncirculo $\omega$ . Un círculo $\Gamma$ es internamente tangente a $\omega$ en $A$ y también tangente a $BC$ en $D$ . Sean $AB$ y $AC$ intersecan a $\Gamma$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Sean $M$ y $N$ puntos en la línea $BC$ tales que $B$ es el punto medio de $DM$ y $C$ es el punto medio de $DN$ . Las líneas $MP$ y $NQ$ se encuentran en $K$ e intersecan a $\Gamma$ nuevamente en $I$ y $J$ respectivamente. El rayo $KA$ se encuentra con el circuncirculo del triángulo $IJK$ nuevamente en $X\neq K$ . Demuestre que $\angle BXP = \angle CXQ$ .

Sea $\mathbb R_{>0}$ el conjunto de los números reales positivos. Determine todas las funciones $f \colon \mathbb R_{>0} \to \mathbb R_{>0}$ tales que \[x \left(f(x) + f(y)\right) \geqslant \left(f(f(x)) + y\right) f(y)\] para todo $x, y \in \mathbb R_{>0}$ .