Dados enteros positivos $k$ y $m$ , demuestra que $m$ y $\binom{n}{k}$ son coprimos para infinitamente muchos enteros $n\geq k$ .

Sea $ ABCD$ un tetraedro. Pruebe que si un punto $ M$ en un espacio satisface la relación: \begin{align*} MA^2 + MB^2 + CD^2 &= MB^2 + MC^2 + DA^2 \\ &= MC^2 + MD^2 + AB^2 \\ &= MD^2 + MA^2 + BC^2 . \end{align*} entonces se encuentra en la perpendicular común de las líneas $ AC$ y $ BD$ .

a) En un triángulo $ MNP$ , las longitudes de los lados son menores que $ 2$ . Pruebe que la longitud de la altura correspondiente al lado $ MN$ es menor que $ \sqrt {4 - \frac {MN^2}{4}}$ . b) En un tetraedro $ ABCD$ , al menos $ 5$ aristas tienen sus longitudes menores que $ 2$ . Pruebe que el volumen del tetraedro es menor que $ 1$ .

En un edificio hay 6018 escritorios en 2007 habitaciones, y en cada habitación hay al menos un escritorio. Cada habitación puede ser despejada dividiendo los escritorios en las otras habitaciones de tal manera que en cada habitación haya la misma cantidad de escritorios. Averigüe qué métodos se pueden usar para dividir los escritorios inicialmente.

Pruebe que el número $ 10^{10}$ no puede escribirse como el producto de dos números naturales que no contienen el dígito ' $ 0$ ' en su representación decimal.

Sean $ m,n$ dos números naturales con $ m > 1$ y $ 2^{2m + 1} - n^2\geq 0$ . Pruebe que: \[ 2^{2m + 1} - n^2\geq 7 .\]

Considere el triángulo $ ABC$ con $ m(\angle BAC = 90^\circ)$ y $ AC = 2AB$ . Sean $ P$ y $ Q$ los puntos medios de $ AB$ y $ AC$ , respectivamente. Sean $ M$ y $ N$ dos puntos encontrados en el lado $ BC$ tales que $ CM = BN = x$ . También se sabe que $ 2S[MNPQ] = S[ABC]$ . Determine $ x$ en función de $ AB$ .

En un triángulo $ ABC$ , donde $ a = BC$ , $ b = CA$ y $ c = AB$ , se sabe que: $ a + b - c = 2$ y $ 2ab - c^2 = 4$ . Pruebe que $ ABC$ es un triángulo equilátero.

a) Para un conjunto finito de números naturales $S$ , denote por $S+S$ el conjunto de números $z=x+y$ , donde $x,y\in S$ . Sea $m=|S|$ . Demuestre que $|S+S|\leq \frac{m(m+1)}{2}$ . b) Sea $m$ un entero positivo fijo. Denote por $C(m)$ el entero más grande $k\geq 1$ para el cual existe un conjunto $S$ de $m$ enteros, tal que $\{1,2,\ldots,k\}\subseteq S\cup(S+S)$ . Por ejemplo, $C(3)=8$ , con $S=\{1,3,4\}$ . Demuestre que $\frac{m(m+6)}{4}\leq C(m) \leq \frac{m(m+3)}{2}$ .

¿Para qué enteros $n\geq 2$ , el número $(n-1)^{n^{n+1}}+(n+1)^{n^{n-1}}$ es divisible por $n^{n}$ ?